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2+1维孤子方程的Darboux变换及其精确解

作　者: 李元新
导　师: 张鸿庆
学　校: 大连理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 数学机械化 AC=BD Darboux变换谱问题 Lax对精确波解
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

本文以数学机械化思想为指导,在导师张鸿庆教授提出的AC=BD理论下,借助于符号计算软件Maple,来研究非线性微分方程求解中的一些问题。其中Darboux变换就是一种十分有效的方法,它从孤子方程的一个平凡解出发能够求出一系列精确解。文章主要内容可概括如下:第一章介绍了数学机械化及其相关学科的发展,围绕微分方程的求解理论和计算机代数的关系,简述了相关方面的国内外研究和发展概况。第二章考虑了微分方程的AC=BD理论,介绍了C-D对理论的基本内容和思想,AC=BD理论侧重于对微分方程变换的机械化构造,可以把复杂问题转化为简单问题,把变系数问题转化为常系数问题,把非线性问题转化为线性问题来解决。第三章介绍了Darboux变换研究的历史和它的一般理论。四五两章以Levi,KPII和mKP方程为例,借助谱问题的规范变换,构造出这些2+1维孤子方程的Darboux变换,并且利用Darboux变换求得这些2+1维孤子方程的新孤子解。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
1 绪论  8-18
  1.1 数学机械化思想  8-10
  1.2 计算机代数与符号计算软件  10-12
  1.3 孤立子研究的历史和发展概况  12-18
    1.3.1 孤立子的发现、性质与应用  12-14
    1.3.2 非线性演化方程(组)精确求解的发展情况  14-18
2 AC=BD理论及C-D对的构造方法  18-22
  2.1 AC=BD理论简介  18-20
  2.2 C-D对的构造方法  20-22
3 Darboux变换  22-28
  3.1 Darboux变换研究状况  22-24
  3.2 Darboux变换的原理  24-25
  3.3 结论  25-28
4 KPII和mKP方程的Darboux变换  28-40
  4.1 谱问题和Darboux变换  29-33
  4.2 新孤子解  33-36
  4.3 应用举例  36-40
5 2+1维Levi方程的Darboux变换与精确解  40-54
  5.1 第一类Darboux变换  42-46
  5.2 第二类Darboux变换  46-48
  5.3 第三类Darboux变换  48-49
  5.4 奇孤子解  49-54
结论  54-56
参考文献  56-62
攻读硕士学位期间学术论文完成情况  62-64
致谢  64-66

2+1维孤子方程的Darboux变换及其精确解

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