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若干非线性偏微分方程的小波解法

作　者: 屈梁柱
导　师: 李德生
学　校: 燕山大学
专　业: 计算数学
关键词: 小波方法 小波Galerkin方法 Haar小波 Daubechies小波 Rosenau-Burgers方程
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要


小波方法是近几年发展起来的一种新型的数值计算方法。小波函数具有很多引人注目的优点:正交性、任意阶可导性和良好的时频局部性。小波基混合了传统的谱方法基和有限元基的优点,是构造自适应算法的有力工具。虽然目前对它的研究还比较少,但由于小波分析在局部时-频分析中具有很强的灵活性,而且它的快速算法为分析和解决问题带来了极大的方便,所以这种方法从一开始就展现了它的独特优点和强劲生命力。不同的小波具有不同的特性,我们可以根据需要处理的不同问题选择合适的小波,例如Shannon小波可以有效的解决奇异积分的问题,Haar小波可以使方程(组)的刚度矩阵化为稀疏矩阵或近似稀疏矩阵,Daubechies小波具有紧支集等,这样就大大地减少了计算量,所以小波方法的广泛应用成为了一种趋势。论文共分五章。第一章介绍了小波方法的发展历史、偏微分方程的一些解法以及小波方法在求解偏微分方程中的应用,并给出了小波方法在求解偏微分方程方面取得的主要成果。第二章详细地介绍了Daubechies小波、Daubechies小波的性质并给出其尺度函数和小波函数的求法以及微分算子的正交小波表示形式。第三章介绍了小波Galerkin方法,并应用小波Galerkin方法对一类非线性偏微分方程的Neumann边值问题和Dirichlet边值问题,先进行时间变量的离散,建立差分格式,然后对每一固定时间层使用小波Galerkin方法,得到线性方程组或代数方程组,从而得到原问题的数值解。第四章对一类时间分数阶问题,应用小波Galerkin方法进行了逼近,建立了关于时间的离散格式,并给出了格式的稳定性和收敛性证明。第五章论文先介绍了Haar小波的发展历史及性质和优越性(相对于拉普拉斯变换和沃氏变换的收敛速度),然后介绍了区间上的Haar小波,并利用它对Rosenau-Burgers方程进行求解,进而给出一种依据“Haar小波具有简单表达式”特征解偏微分方程的方法。

全文目录


摘要  4-6
Abstract  6-10
第1章 绪论  10-18
  1.1 小波的发展历史  10-12
  1.2 小波的定义  12-14
  1.3 小波变换  14-15
  1.4 小波的特性  15-16
  1.5 小波分析在偏微分方程数值求解中的应用  16-17
  1.6 课题意义  17-18
第2章 微分算子的小波近似  18-28
  2.1 Daubechies正交紧支撑小波  18-22
  2.2 尺度函数的计算  22-25
  2.3 微分算子的正交小波近似  25-27
  2.4 本章小结  27-28
第3章 两类边值问题的小波Galerkin解法  28-40
  3.1 小波Galerkin法  28-29
  3.2 Neumann问题的小波Galerkin解法  29-36
    3.2.1 问题的引入和转化  29-30
    3.2.2 小波Galerkin方法转化  30-33
    3.2.3 误差分析  33-35
    3.2.4 数值实验  35-36
  3.3 Dirichlet边值问题的小波Galerkin解法  36-39
  3.4 本章小结  39-40
第4章 时间分数阶偏微分方程的小波Galerkin解法  40-48
  4.1 小波Galerkin方法逼近  40-42
  4.2 离散格式的稳定性分析  42-45
  4.3 离散格式的收敛性分析  45
  4.4 数值例子验证  45-47
  4.5 本章小结  47-48
第5章 Haar小波的应用  48-64
  5.1 Haar小波  48-55
    5.1.1 Haar小波的发展历史  48-49
    5.1.2 Haar小波的定义  49
    5.1.3 Haar小波的特性  49-50
    5.1.4 区间[0, 1] 上的Haar小波  50-55
  5.2 函数的Haar小波表示  55-56
  5.3 一维初边值问题的Haar小波解法  56-58
  5.4 简介 Rosenau-Burgers方程  58
  5.5 区间Haar 小波解Rosenau-urgers方程初边值问题  58-62
  5.6 算例  62
  5.7 本章小结  62-64
结论  64-66
参考文献  66-72
攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果  72-73
致谢  73-74
作者简介  74

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 非线性偏微分方程
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