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非线性泛函分析是非线性分析的一个重要分支.非线性泛函分析是既有深刻理论又有广泛应用的研究学科,它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景,建立处理非线性问题的若干一般性理论和方法,而且能处理实际问题所对应的各种非线性积分方程,特别是在微分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用.因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象,并且在实际生产生活中有很大的应用.随着近代物理学和应用数学的发展,各种非线性问题已日益引起人们的关注.特别是非线性微分方程边值问题,它源于应用数学、物理学、控制论等各种应用学科中,是微分方程领域中一类重要问题,并且是非线性泛函分析中研究最为活跃的领域之一本文利用单调迭代理论、上下解方法、Leray-Schauder理论,研究了几类非线性微分方程边值问题的正解的存在性.本文共分为三章：在第一章中,我们利用单调迭代原理,结合锥理论中的有关知识,讨论四阶奇异非线性微分方程积分边值问题：的对称正解,其中q∈L1[0,1]在[0,l]上是非负对称的且在(0,1)的任一子区间上q(t)≠0成立；另外,q(t)在t=0,1奇异,∫01q(t)dt＜+∞;g,h∈L1[0,1]在[0,1]上是非负对称的,且0<a=∫01g(s)ds<2/3,0<b=∫01h(s)ds<1; f:[0,1]×R+×R×R-→R+连续且是对称的.这里R+=[0,+∞),R-=(-∞,0].本章改进和推广了文[9]所讨论的方程类型和结果.在第二章中,我们通过上下解方法以及我们所熟知的Schauder不动点定理,考虑如下具有积分边值条件的四阶边值问题：其中非线性项f依赖于x的所有低阶导数,f：[0,1]×R4→R连续；gi：R→R可积,且0<gi(s)<1(i=1,2,3,4)；ki(i=1,2,3,4)是常数,且满足1<k2<1+k1,1<k4<1+k3.在第三章中,我们研究半直线上无穷多点边值问题：利用Leray-Schauder原理中的同伦族得到了上述无穷多点边值问题正解的存在性,其中非线性项f：J×R2→R满足Carathodory条件,且在J的任意子区间上f(t,0,0)恒不为零,且|f(t,u,v)|≤m(t)|u|+n(t)|v|+r(t),a.e.t∈J+,(u,v)∈R2,其中,m,n,r,e∈L1[0,∞),所有αi(i=1,2,…)具有相同的符号.
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