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矩阵方程AX+YB=E的最小二乘约束解及其最佳逼近

作　者: 傅向军
导　师: 胡锡炎；孟纯军
学　校: 湖南大学
专　业: 计算数学
关键词: 矩阵方程最佳逼近迭代法最小二乘解
分类号: O241.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 72次
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内容摘要

约束的矩阵方程问题、最小二乘问题及其与相应最佳逼近问题在许多领域有其应用的背景.例如在粒子物理学和地质学,自动控制理论的逆问题,振动理论的逆问题,有限元及多维逼近问题等方面有重要的应用.本篇论文研究了约束矩阵方程AX+YB=E的最小二乘约束问题及其最佳逼近.表述如下：问题Ⅰ.给定A,B,E∈Rm×x，以及两个集合S1，S2,求X∈S1，Y∈S2使得‖AX+YB-E‖=min其中S1,S2分别为相应阶数的实矩阵集合、对称矩阵集合、反对称矩阵集合、中心对称矩阵集合与中心反对称矩阵集合.问题Ⅱ.给定A,B,E∈Rm×n，X∈Rn×n,Y∈Rm×m，求[X,Y]∈SE,使得其中SE为问题Ⅰ的解集合,‖·‖是Frobenius范数.本文首先提出了矩阵对的概念,由实矩阵空间的内积的定义和性质,导出了矩阵对的内积,由此导出矩阵对的范数.然后利用有限维子空间的投影定理,得到了求‖AX+YB-E‖=min问题的一般解、对称与反对称解、中心对称与中心反对称解的法方程组.利用共轭梯度法的思想和矩阵的结构特征,设计了迭代格式分别求矩阵方程AX+YB= E的最小二乘问题的一般解、对称与反对称解、中心对称与中心反对称解,分别证明了迭代法的有限步收敛性,并通过将方程适当变形及取特定的初始矩阵,迭代法能求相应的最佳逼近解.数值实例说明算法是有效的.

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-9
第1章绪论  9-13
  1.1 约束矩阵方程问题研究概述  9-11
  1.2 本文所做的工作及本文的符号表示  11-13
第2章矩阵对内积的定义和性质  13-15
  2.1 矩阵对内积的定义和性质  13-15
第3章矩阵方程AX+YB=E的最小二乘解及最佳逼近  15-25
  3.1 ‖AX+YB=E‖=min的法方程组  15-16
  3.2 求解‖AX+YB=E‖=min的迭代法及收敛性  16-21
  3.3 问题‖AX+YB=E‖=min的最佳逼近  21-25
第4章矩阵方程AX+YB=E的最小二乘对称与反对称解及最佳逼近  25-40
  4.1 对称最小二乘问题‖AX+YB-E‖=min的法方程组  25-26
  4.2 求解‖AX+YB=E‖=min对称解的迭代法及收敛性  26-31
  4.3 对称问题‖AX+YB=E‖=min的最佳逼近  31-34
  4.4 反对称最小二乘问题‖AX+YB-E‖=min的法方程组  34-35
  4.5 求解‖AX+YB=E‖=min反对称解的迭代法及收敛性  35-36
  4.6 反对称问题‖AX+YB=E‖=min的最佳逼近  36-40
第5章矩阵方程AX+YB=E的最小二乘中心对称与中心反对称解及最佳逼近  40-56
  5.1 中心对称与中心反对称的定义及性质  40
  5.2 中心对称最小二乘问题‖AX+YB=E‖=min的法方程组  40-41
  5.3 求解‖AX+YB=E‖=min中心对称解的迭代法及收敛性  41-47
  5.4 中心对称问题‖AX+YB=E‖=min的最佳逼近  47-50
  5.5 中心反对称最小二乘问题‖AX+YB=E‖=min的法方程组  50-51
  5.6 求解‖AX+YB=E‖=min中心反对称解的迭代法及收敛性  51-52
  5.7 中心反对称问题‖AX+YB=E‖=min的最佳逼近  52-56
结论  56-58
参考文献  58-61
致谢  61

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