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自适应蒙特卡洛方法和固定宽度置信区间

作　者: 刘岳巍
导　师: 钟承奎
学　校: 兰州大学
专　业: 应用数学
关键词: 多重积分蒙特卡洛取样自适应蒙特卡洛有界峰度固定宽度置信区间统计性误差方差上限估计算法成本拟蒙特卡洛取样伪随机数
分类号: O242.2
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

在数学、物理、工程等领域经常需要计算多重积分,而传统数值积分方法对这些积分并不适用.一个主要的原因就是传统数值积分方法在高维度问题会遇上可怕的”维数诅咒”(Curse of Dimensionality).根据统计理论,这些积分可以转化为计算服从某一分布的随机变量的均值,可以使用蒙特卡洛方法(Monte Carlo Methods)或者拟蒙特卡洛方法(Quasi-Monte Carlo Methods)来估计其均值的置信区间,从而得到这些积分的可靠近似结果.这两种方法的主要思想是当独立同分布的样本数量趋向于无穷大时,样本序列的均值收敛到随机变量均值.但是这两种方法都存在缺陷,得到的结果有可能是不准确的.首先蒙特卡洛方法采用随机抽样,基于中心极限定理来估计置信区间,但是这个理论是渐近的,并没有给出如何确定样本大小的方法,并且在该理论中含有未知的信息,比如母体方差,所以不能从理论上保证随机变量的均值以给定置信水平落入估计的置信区间.另一方面,根据复杂性理论(Complexity theory),拟蒙特卡洛方法采用确定性序列估计多重积分,虽然可以得到精确的误差分析,但是往往依赖于问题先验信息的大小,比如有界变分,其计算非常困难.本文主要研究多重积分的蒙特卡洛计算问题.为了克服现有方法的不足,我们提出一种新的自适应蒙特卡洛方法来估计积分.该方法适合具有有限峰度的随机变量均值估计,在一定概率控制误差的条件下,构建出随机变量均值准确的置信区间(非渐近),同时给出相应的蒙特卡洛随机取样的样本容量计算算法.这一方法具体分为两个阶段,在第一个阶段中,利用Cantelli不等式得到的一个样本容量,这个样本容量自适应性地依赖被积函数的方差估计.第二个阶段利用前一个阶段中计算出来的方差估计和样本容量,结合Berry-Esseen不等式建立出随机变量均值的置信区间.本文方法主要有以下优点：首先,这一方法能够保证在一定置信水平下得到随机变量的准确置信区间,提高了精度.其次,将此方法向拟蒙特卡洛理论的推广是非常有意义的.在被积函数峰度有限的假设下,估计其方差的上限,以及通过确定性序列分析标准误差的技术,能有效提高收敛速度,同时降低先验信息的需求,从而极大地提高计算效率,降低了计算复杂性.第三,方法假设所受限制很少,对于四阶矩存在的随机变量其峰度一定存在,更进一步,该假设下的函数空间对于数乘运算是封闭的.本文包含四章.第一章主要介绍研究背景和研究内容以及意义.第二章为两阶段自适应蒙特卡洛方法和理论阐述.第三章给出算例和仿真研究结果.最后一章对全文进行总结,并提出进一步研究.

全文目录

中文摘要  3-4
Abstract  4-8
第一章引言  8-20
  1.1 蒙特卡洛方法  8-15
    1.1.1 背景介绍  8-10
    1.1.2 研究现状  10-11
    1.1.3 蒙特卡洛积分与仿真  11-15
  1.2 拟蒙特卡洛方法  15-17
  1.3 本文主要研究内容  17-20
第二章两阶段自适应蒙特卡洛方法  20-36
  2.1 相关统计概念和不等式  20-23
  2.2 样本容量的确定  23-27
    2.2.1 正态分布且方差已知的情形  23-24
    2.2.2 未知分布但方差已知的情形  24-27
  2.3 算法介绍  27-36
    2.3.1 方差上限的估计  27-31
    2.3.2 置信区间的确定  31-33
    2.3.3 算法成本的估计  33-36
第三章算例和仿真研究  36-62
  3.1 随机取样-伪随机数发生器  36-41
    3.1.1 线性同余发生器  37-38
    3.1.2 梅森旋转算法  38-40
    3.1.3 伪随机数的统计性检验  40-41
  3.2 确定性序列抽样  41-47
    3.2.1 低偏差取样  41-44
    3.2.2 格点规则  44-46
    3.2.3 与伪随机数的比较  46-47
  3.3 算例及仿真研究  47-62
    3.3.1 单变量函数情形  48-55
    3.3.2 多变量函数情形  55-60
    3.3.3 买入期权仿真  60-62
第四章结论及进一步研究  62-70
  4.1 结论及讨论  62-63
  4.2 进一步研究  63-67
    4.2.1 问题的探讨  64-65
    4.2.2 算法的探讨  65-67
  4.3 改进不等式  67-70
参考文献  70-80
攻博期间发表的论文及参加项目  80-81
致谢  81

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