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基于改进的同伦法求解非线性方程

作　者: 李海洋
导　师: 何希勤
学　校: 辽宁科技大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 改进的同伦摄动法同伦分析法非线性方程近似解
分类号: O241.7
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 79次
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内容摘要

在现代科学技术不断发展的各领域中，非线性的出现在自然科学和工程中成为了现代科学技术中常见的问题，其数学模型是由非线性方程所描述的。因此对非线性方程的求解一直是学者们关心研究的热门课题。受到同伦分析方法的启发，1998年何吉欢将摄动方法与同伦方法相结合，提出了同伦摄动方法（HPM)，同伦摄动方法求解非线性方程时，它不依赖于选取的小参数，而是应用同伦技术构造一个含嵌入参数q∈[0,1]的方程，把解表达为q的幂级数的形式，然后把嵌入参数作为小参数来处理。该方法已应用于广义特征值问题、偏微分方程初边值问题，以及积分方程和微分积分方程等。同伦分析方法求解非线性方程时，是引入一嵌入变量q，通过同伦方法构造一同伦函数，令同伦为零，得到零阶形变方程与高阶形变方程，再将原始的非线性方程转化成无穷多个线性子问题，在取前几个线性子问题之和来逼近精确解。该方法同同伦摄动方法，也完全不依赖小参数，初始猜测解和辅助线性算子的自由选取，这使同伦分析方法广泛应用到求解各类不同的非线性方程的问题中。本文在应用同伦摄动方法求解非线性微分积分方程的同时，将改进的同伦摄动方法与同伦摄动方法和Adomian分解法求得的结果进行比较，体现同伦摄动法相对变分迭代法而言更简便。此外，还针对广义正则化方程的求解，我们将同伦摄动方法求解的解与精确解进行比较，体现同伦摄动法也可以很好的吻合精确解。同伦分析方法求解Klein-Gordon方程，通过实例分析与数值比较，说明同伦分析方法的有效性和适用性。

全文目录

中文摘要  5-6
ABSTRACT  6-10
1. 绪论  10-14
  1.1 非线性方程的背景介绍  10-11
  1.2 本文的创新思想  11-12
  1.3 本文的主要方法介绍  12-14
2. 同伦摄动法在非线性方程中的应用  14-23
  2.1 两个简单的例子的应用  14-16
  2.2 应用于燃烧方程  16-17
  2.3 应用于拉普拉斯变换  17-19
  2.4 应用于广义正则化波动方程  19-23
3. 基于改进的同伦摄动法求解非线性方程  23-36
  3.1 基于改进的同伦摄动法求解非线性 Fredholm 微分积分方程  23-27
    3.1.1 Adomian 分解法  23
    3.1.2 改进的同伦摄动法  23-24
    3.1.3 改进的同伦摄动法求解非线性 Fredholm 微分积分方程  24-25
    3.1.4 数值比较  25-27
  3.2 基于同伦摄动法求解非线性振动微分方程  27-31
    3.2.1 变分迭代法 VIM  27-28
    3.2.2 同伦摄动法求解非线性振动微分方程  28-29
    3.2.3 数值比较  29-31
  3.3 基于同伦摄动法求解非线性微分方程  31-36
    3.3.1 变分迭代法 VIM  31-33
    3.3.2 同伦摄动法求解非线性微分方程  33-36
4. 基于同伦分析法求解 KdV-Burgers 方程和 Klein-Gordon 方程  36-50
  4.1 同伦分析法  36-39
    4.1.1 零阶形变方程  36-37
    4.1.2 高阶形变方程  37-38
    4.1.3 同伦分析法的基本原则  38-39
    4.1.4 收敛区间和收敛速度的控制  39
  4.2 同伦分析法求解 KdV-Burgers 方程  39-43
    4.2.1 零阶形变方程  39-40
    4.2.2 高阶形变方程  40-41
    4.2.3 实例分析与数值比较  41-43
  4.3 同伦分析法求解 Klein-Gordon 方程  43-50
    4.3.1 零阶形变方程  43-44
    4.3.2 高阶形变方程  44-45
    4.3.3 收敛定理  45-50
5. 总结与展望  50-52
  5.1 总结  50
  5.2 展望  50-52
参考文献  52-54
攻读硕士学位期间发表学术论文情况  54-55
致谢  55-56
作者简介  56-57

基于改进的同伦法求解非线性方程

内容摘要

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