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一类指数度量的若干几何性质

作　者: 李俊
导　师: 杨明升
学　校: 南京师范大学
专　业: 基础数学
关键词: (α,β)-度量指数度量局部射影平坦旗曲率局部对偶平坦 S-曲率
分类号: O186.12
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

芬斯勒几何包括其重要特例黎曼几何是现代数学中的重要前沿学科,由Finsler几何发展起来的几何方法对于探究理论物理,生物数学和信息几何等都是相当有用的.本文主要研究了光滑流形M上的一类特殊的(a,β)-度量,即F=a(e1+β/a+1)(其中a(x,y)=√aij(x)yiyi是M上的黎曼度量,β(x,y)=bi(x)yi是M上的1-形式)的一些几何性质,并重点探讨了F=a(e1+β/a+1)是局部射影平坦,对偶平坦的充要条件和具有迷向S-曲率的充要条件.主要得到了以下一些结论：定理3.2设(M,α)是n维黎曼流形,β是M上的一个1-形式,F=a(e1+β/a+1)是M上的Finsler度量.那么F为局部射影平坦的当且仅当：(1)α局部射影平坦的,即α有常截面曲率.(2)β关于α是平行的,即bi|j=0.定理3.3设(M,α)是n维黎曼流形,β是M上的一个1-形式,F=a(e1+β/a+1)是M上的Finsler度量.那么F为局部射影平坦的,当且仅当：(1)α是欧氏度量(2)β是常向量。定理3.4设(M,a)是n维黎曼流形,β是M上的一个1-形式,F=a(e1+β/a+1)是M上的Finsler度量.假若F是局部射影平坦的,那么它的旗曲率为零.定理4.1设(M,α)是n维黎曼流形,β是M上的一个1-形式,F=a(e1+β/a+1)是M上的Finsler度量.那么F是局部对偶平坦的当且仅当：(1)Gm/a=1/3θma2+2/3θym(2)T00=2/3θβ-2/3biθia2.(3)s10=4(βθι-θbι)/g.这里θ=θκyκ是M上1-形式,θm=αimθi.定理5.1设(M,α)是n维(n≥3)黎曼流形,β是M上的一个1-形式,F=a(e1+β/a+1)是M上的Finsler度量.那么对于M上的指数度量F=a(e1+β/a+1),则以下条件等价：(1)F是具有迷向S—曲率的.(2)β是关于α长度恒定的killing1-形式.(3)S=0.(4)F是Berwald度量.(5)β关于a是平行的.(6)F与α是有相同的测地系数的.即Gi=Gi/a.(7)F与α是射影相关的。

一类指数度量的若干几何性质

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