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几类无界域上耗散演化方程解的长时间行为研究

作　者: 王明
导　师: 张诚坚
学　校: 华中科技大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 吸引子广义KdV方程 Quasi-Geostrophic方程反应扩散方程分数拉普拉斯分形维数
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

现实世界中很多物理现象可以由具有能量耗散的非线性发展方程描述.对这些发展方程解的长时间行为研究有助于我们理解非线性科学中的复杂现象.全局吸引子是无穷维动力系统中的核心概念.我们主要关心全局吸引子的存在性,正则性,分形维数估计等等.对于吸引子的高正则性,弱耗散系统,非局部耗散等,这些问题将变得更加困难.本文主要致力于处理这几类问题,具体安排如下.第一章,我们对无穷维动力系统的主要内容作简要介绍,包括吸引子存在性的充分必要刻画,紧性描述以及相关论题.第二章,考虑具有任意增长阶非线性的反应扩散方程,通过一系列解的估计,得出单位算子在吸收集内是L2-H2∩L2p-2Holder连续的,结合解半群在L2中的渐近紧性,证明了L2-H2∩L2p-2全局吸引子的存在性.由于方程的平衡点至多属于上述空间,因此该结果已经达到最优.第三章,研究了广义KdV方程解的渐近行为.通过构造三个守恒律能量方程,证明了H2中吸收集的存在性.利用Ball的能量方法,证明了解半群在H2中的渐近紧性,从而得到全局吸引子的存在性.我们还给出了一个平凡吸引子的充分条件.结果表明当外力项相对阻尼系数小时,吸引子是平凡的,即只包含一个平衡点.第四章,分析了QG方程解的渐近行为.首先,利用分数拉普拉斯算子的正性不等式,交换子估计以及Besov空间技巧,证明了无界域上阻尼QG方程在LP中全局吸引子的存在性.第五章,利用Chueshov.Lasiecka拟稳定估计方法,得出2维环域上全局吸引子的分形维数依赖耗散系数的精确估计.维数上界随着耗散系数增大而减小,这与物理事实是对应的.第六章,考虑了具有白噪声扰动的分数拉普拉斯反应扩散方程.用∈正则性方法得到解的适定性.通过尾端估计方法,得出系统在L2中随机吸引子的存在性.

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
1 无穷维动力系统概述  9-23
  1.1 导言  9-10
  1.2 基本概念与判据  10-14
  1.3 紧性刻画  14-17
  1.4 进一步论题  17-23
2 全空间上反应扩散方程的(L~2(R~n),H~2(R~n)∩ L~(2p-2)(R~n))吸引子  23-35
  2.1 引言  23-24
  2.2 解的适定性与H~1中的吸引子  24
  2.3 解的相关估计  24-30
  2.4 主要结果  30-34
  2.5 进一步的问题  34-35
3 广义KdV方程解的长时间行为  35-53
  3.1 引言  35
  3.2 H~2中的全局吸引子  35-44
  3.3 吸引子的结构  44-49
  3.4 KdV方程的相关进展  49-52
  3.5 进一步的问题  52-53
4 二维Quasi-geostrophic方程解的长时间行为  53-70
  4.1 引言  53-54
  4.2 解的连续依赖性  54-56
  4.3 一致估计和吸收集  56-67
  4.4 L~P中的全局吸引子  67-68
  4.5 进一步的问题  68-70
5 二维QG方程吸引子的分形维数  70-82
  5.1 引言  70-71
  5.2 预备估计  71-73
  5.3 拟稳定估计  73-80
  5.4 分形维数与指数吸引子  80-82
6 无界域上带位势的分数阶反应扩散方程的随机吸引子  82-103
  6.1 引言  82-83
  6.2 随机动力系统  83-85
  6.3 一致估计  85-101
  6.4 随机吸引子  101-103
致谢  103-104
参考文献  104-112
附录1 攻读学位期间已发表和录用的学术论文目录  112

几类无界域上耗散演化方程解的长时间行为研究

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