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S~n×S和H~n×S中具有常截面曲率的超曲面

作　者: 齐敏
导　师: 李兴校
学　校: 河南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 乘积流形旋转超曲面常角超曲面主曲率截面曲率
分类号: O186.12
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

在这篇论文中主要研究乘积流形Sn×S和Hn×S中具有常截面曲率的超曲面.全文分为四章.在第一章中首先介绍超曲面的研究背景；其次,我们给出了乘积流形中的一些相关知识；最后,提出本文所要讨论的问题.在第二章里着重讨论低维乘积空间S2×S和H2×S中完备旋转曲面.采用Codazzi对[22]的概念及与其相关的全纯二次形式的存在性的思想证明：给定常数K>2/1+ε,则除相差一个等距变换外, Qε2×S中存在唯一的完备旋转曲面以常值K为高斯曲率.当ε=1时,曲面的参数方程由定理2.2.3给出；当ε=-1时,曲面的参数方程由定理2.2.1给出.又由曲面的完备性,我们得到:Qε2×s中不存在以给定K<-1为高斯曲率的完备旋转曲面.在第三章里重点讨论低维乘积空间S2×S和H2×S中的常角曲面,这类曲面的单位法向量场与S的切方向成定角.我们采用可积性理论,得到一个分类定理：定理3.3.1设φ：M2→Qε2×s是一个浸入,那么φ具有常角θ∈[0,π/2](?)存在M2上的一个局部坐标系(u,u)和Qε2上的一条曲线γ(‖γ’‖=1)使得φ(u,u)=(Cε(u cosθ)γ(v)+Sε(u cosθ)γ(v)×γ’(v),cos(u sinθ),sin(u sinθ)),其中,在第四章中主要讨论高维乘积空间Sn×S和Hn×S中具有常截面曲率的超曲面.我们得到如下定理：定理4.4.1设φ:MKn→Sn×S(n≥4)是具有常截面曲率K的等距浸入超曲面,那么K≥1.此时,(i)若K=1,则φ(M1n)是Sn×{s0}(s0∈s)的一个开子集；(ii)若K>1,则φ(MKn)是旋转曲面的一部分,其参数方程由定理4.2.2给出.定理4.4.2设φ:MKn→Hn×S(n≥4)是具有常截面曲率K的等距浸入超曲面,那么K≥-1.此时,(i)若K=-1,则φ(M-1n)是Hn×{so}(s0∈s)的一个开子集；(ii)若K∈(一1,0),则φ(MKn)可以是旋转曲面的一部分,其方程由定理4.2.1之(ⅱ)给出；(ⅲ)若K=0,则(a)φ(M0n)是Mnn-1×s的一个开子集,其中M0n-1是Hn的超曲面；(b)φ(M0n)是旋转曲面的一部分,其参数方程由定理4.2.1之(ⅲ)-a给出；(iu)若K>0,则φ(MKn)是球型旋转曲面的开子集,其参数方程有定理4.2.1之(ⅳ)给出.

全文目录

摘要  3-5
ABSTRACT  5-9
第一章绪论  9-13
  1.1 研究背景  9-11
  1.2 本文的相关知识  11-12
  1.3 本文问题的提出  12-13
第二章 S~2×S和H~2×S中具有常高斯曲率的旋转曲面  13-29
  2.1 预备知识  13-14
  2.2 具有常高斯曲率的完备旋转曲面  14-20
    2.2.1 H~2×S中的旋转曲面  14-19
    2.2.2 S~2×S中的旋转曲面  19-20
  2.3 主要定理及证明  20-26
  2.4 不存在定理及证明  26-29
第三章 S~2×S和H~2×S中的常角曲面  29-39
  3.1 预备知识  29-30
  3.2 常角曲面的一些性质  30-33
  3.3 分类定理及证明  33-36
  3.4 具有常角性质的极小曲面  36-39
第四章 S~n×S和H~n×S中具有常截面曲率的超曲面  39-53
  4.1 预备知识  39-41
  4.2 S~n×S和H~n×S中具有常截面曲率的旋转超曲面  41-45
  4.3 S~n×S和H~n×S中的常角超曲面  45-50
  4.4 主要定理  50-53
参考文献  53-55
致谢  55-57

S~n×S和H~n×S中具有常截面曲率的超曲面

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