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一类非线性Jerk方程的近似解法

作　者: 郑敏毅
导　师: 胡辉
学　校: 湖南科技大学
专　业: 力学
关键词: Jerk方程 Lindstedt-Poincaré展开技术多尺度法迭代法同伦分析法近似周期近似周期解
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 12次
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内容摘要

非线性振动现象普遍存在于工程实际中,对于工程应用非常重要。大多数非线性振动问题是用二阶非线性微分方程表示的,而有些非线性振动问题或者非线性动力学问题可以用三阶非线性微分方程表示,例如Rossler系统和Lorenz系统。2004年澳大利亚学者Gottlieb [H.P.W.Gottlieb. Harmonic balance approach to periodic solutions of nonlinear jerk equations[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 271:671-683]用低阶谐波平衡法求出一类只含有三次非线性项的Jerk方程的近似解析周期解。由于Gottlieb解的精度有限,非线性Jerk方程的高阶近似解引起了很多学者的兴趣。本文将应用经典多尺度法、改进的多尺度法、改进的两变量展开法、新迭代法和同伦分析法求解含有三次非线性项的Jerk方程的高阶近似解,得到了高精度的近似解析解。论文的主要内容和创新之处如下:首先,分别应用经典多尺度法和改进的多尺度法求解一个不含速度线性项的非线性Jerk方程,通过两种方法的比较可以发现经典多尺度法不适合求解不含速度线性项的非线性Jerk方程;改进的多尺度法结合了Lindstedt-Poincaré展开技术,因而对非线性Jerk方程不含速度线性项求解仍然有效。接着,利用改进的两变量展开法分析了一个非线性Jerk方程。与改进的多尺度法求解非线性Jerk方程比较,可以发现用改进的两变量展开法求解非线性Jerk方程的计算要简单一些。然后,采用新迭代法求解非线性Jerk方程,通过例子分析可知引入变换τ=ωt, y =ωx后再应用新迭代法计算只需要求解简单的代数方程就可以确定近似角频率。文中得到的二阶近似解的精度比用同伦摄动法得到的近似解的精度高很多。最后,文章用同伦分析法求解非线性Jerk方程,通过例子分析可知引入变换τ=ωt, y =ωx可以使初始条件变得简单且大大减小计算工作量。同伦分析法的一个重要优点是可以通过参数控制解的收敛区域和收敛速度。文中得到的二阶近似解具有很高的精度。

全文目录

摘要  5-6
ABSTRACT  6-9
第一章绪论  9-13
  1.1 非线性振动的研究背景及其方法  9-10
  1.2 非线性Jerk 方程的简介  10-12
  1.3 本文的主要研究内容和章节安排  12-13
第二章多尺度法  13-41
  2.1 经典多尺度法  13-19
    2.1.1 方法简介  13-14
    2.1.2 算例  14-19
  2.2 改进多尺度法  19-30
    2.2.1 方法简介  19-21
    2.2.2 算例  21-30
  2.3 改进两变量展开法  30-39
    2.3.1 方法简介  30-32
    2.3.2 算例  32-39
  2.4 本章小结  39-41
第三章新迭代法  41-53
  3.1 方法简介  41-42
  3.2 算例  42-52
  3.3 本章小结  52-53
第四章同伦分析法  53-65
  4.1 方法简介  53-55
  4.2 算例  55-64
  4.3 本章小结  64-65
第五章总结  65-67
参考文献  67-73
致谢  73-75
附录 A:攻读硕士学位期间发表的论文  75-76
附录 B:攻读硕士学位期间取得的科研成果  76

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