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传染病模型的动力学分析

作　者: 豆中丽
导　师: 叶志勇
学　校: 重庆理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性发生率 Hopf分支中心流形投影法 Holling-Ⅱ功能性反应函数 Neimark-Sacker分支
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
下　载: 38次
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内容摘要

生物数学上的两个重要分支是传染病动力学和种群动力学，传染病动力学主要是对传染病进行理论性定量研究的一种方法，通过对传染病模型性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化趋势，为传染病的预防和控制提供了理论依据；种群动力学研究种群个体数量和结构随时间的变化规律以及如何实施合理有效的人工干预对种群进行保护、开发和利用。本文研究了具有非线性发生率的传染病模型，基于种群具有Logistic增长假设，构建了一个三维非线性发生率的SIR模型。首先探讨了该模型平衡点的稳定性，然后应用中心流形投影法得到了系统在非平凡平衡点附近产生超临界分支，并给出了数值模拟。本文讨论了具有Holling-Ⅱ功能性反应函数的离散-时间捕食-食饵模型在第一象限内的动力学行为，首先分析了系统的不动点处的稳定性，然后应用中心流形投影法和分支理论，阐释了系统随参数变化而发生倍周期分支等进入混沌和Neimark-Sacker分支情形，并利用Matlab模拟验证了其理论结果的正确性。全文共分四章：第一章，介绍了传染病的发展历史和意义及本文内容安排。第二章，介绍了本文所涉及到的基本概念和主要定理。第三章，研究了种群具有Logistic增长的SIR模型，讨论了模型在平衡点处的稳定性和在非平凡平衡点处的Hopf分支。第四章，研究了具有Holling-Ⅱ功能性反应函数的离散-时间捕食-食饵模型，分析了系统在不动点处的稳定性和系统随参数变化发生的2、4、8…分支以及Neimark-Sacker分支情形。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
1 绪论  9-13
  1.1 研究背景  9-10
  1.2 国内外研究现状  10-12
  1.3 本文主要研究内容  12-13
2 预备知识  13-24
  2.1 本文研究内容的基本概念  13-21
    2.1.1 非线性系统的平衡点、平衡点的稳定性  13-14
    2.1.2 Hopf 分支  14-16
    2.1.3 Neimark-Sacker 分支  16-18
    2.1.4 倍周期分支  18-19
    2.1.5 Holling 功能性反映函数  19-20
    2.1.6 有效接触率与疾病的发生率  20-21
  2.2 本文研究内容的基本定理  21-23
    2.2.1 Hurwitz 判别法则  21-22
    2.2.2 中心流形投影定理  22-23
  2.3 本章小结  23-24
3 具有种群 Logistic 增长的 SIR 模型的模型的稳定性和 Hopf 分支  24-36
  3.1 引言  24-25
  3.2 模型及其平衡点  25-29
  3.3 Hopf 分支及稳定性  29-35
  3.4 结论  35
  3.5 本章小结  35-36
4 具有离散-时间捕食-食饵模型的稳定性和 Neimark-Sacker 分支  36-50
  4.1 引言  36-37
  4.2 模型及其平衡点  37-42
  4.3 Neimark-Sacker 分支  42-46
  4.4 数值模拟  46-49
  4.5 本章小结  49-50
5 结束语  50-51
参考文献  51-54
附录（个人简历、在学期间发表的学术论文及取得的研究成果）  54-56
致谢  56

传染病模型的动力学分析

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