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关于半群的有限基问题与量子仿射代数的表示的若干研究

作　者: 李建荣
导　师: 罗彦锋; E.Mukhin; T.Tarasov
学　校: 兰州大学
专　业: 基础数学
关键词: 有限基问题幺半群扩展变换保序扩展变换上三角矩阵半群有限域半群簇有限半群 G2型量子仿射代数有限维表示 q-特征 T-系统扩展T-系统 Frenkel-Mukhin算法 Kirillov-Reshetikhin模极小仿射化模维数公式 XXZ型Bethe拟设方程拟多项式空间
分类号: O152.7
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

本文研究半群的有限基问题,量子仿射代数的表示及其应用的相关问题.主要研究了(?)(n=2,3),(?)(F)(|F|=2)的有限基问题,G2型扩展T-系统,XXZ型Bethe拟设方程的解的轨道与某些拟多项式空间的对应.具体内容如下.1.我们证明了长度为4的链上的所有扩展变换构成的幺半群是有限基的并且给出了它的一个有限等式基.这就完成了关于任意有限链上的所有完全扩展变换,所有部分扩展变换,所有部分保序扩展变换构成的幺半群的等式性质的刻画,完全解决了相关的公开问题.2.设(?)n为所有n×n上三角布尔矩阵构成的幺半群Volkov和Goldberg证明了当n>3时,(?)n是本质非有限基的.然而对n=2,3,(?)n是否是有限基的仍是公开问题.我们证明了幺半群(?)2是有限基的并且给出了(?)2的一个有限等式基.我们还证明了(?)3是本质非有限基的.因此(?)n是有限基的当且仅当n≤2.3.设(?)n(F)为一个有限域F上的所有n×n上三角矩阵构成的幺半群Volkov和Goldberg证明了当|F|>2且n≥4时,(?)n(F)是非有限基的.然而当|F|>2且n=2,3,或者|F|=2时,(?)n(F)的有限基问题仍是公开问题.我们证明了当|F|=2时,幺半群(?)n(F)是有限基的并且给出了(?)2(F)的一个有限等式基.并且,我们找出了(?)2(F),|F|=2,生成的簇的所有极大子簇.4.我们定义G2型量子仿射代数Uq(6)的模Bk,l(s),Ck,l(s),Dk,l(s),Bk,l(s),Ck,l(s),Ck,l(s),Dk,l(s),εk,l(s),Fk,l(s).证明了这些模满足一组3-项递归关系,称为扩展T-系统.扩展T-系统包含着著名的G2型T-系统.我们证明了G2型扩展T-系统中的模都是特殊的或者反特殊的,因此FM算法可以应用于这些模.我们定义了左模,右模,顶模,底模,以及源的概念.我们证明了顶模与相应的底模的张量积是不可约的,源是不可约的.利用扩展T-系统,我们计算了扩展T-系统中的模的维数公式.特别地,我们得到了Gz型极小仿射化模Bk,l(s),Bk,l(s)的维数公式.5.我们研究了XXZ型Bethe拟设方程.一方面,我们从某些拟多项式空间出发,构造了Bethe拟设方程的解.另一方面,从Bethe拟设方程的解出发,我们构造了某些拟多项式空间.这样就证明了XXZ型Bethe拟设方程的解的轨道与某些拟多项式空间一一对应.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-11
第一章研究背景与主要内容  11-17
  1.1 有限半群的有限基问题  11-12
  1.2 量子仿射代数的表示及其应用  12-17
第二章预备知识  17-27
  2.1 关于半群的预备知识  17-20
    2.1.1 可数字母表上的字  17
    2.1.2 形式等式  17-18
    2.1.3 等式的形式推导  18
    2.1.4 半群簇  18-19
    2.1.5 等式集合的删除封闭性质  19
    2.1.6 某些特殊半群满足的等式的性质  19-20
  2.2 关于量子仿射代数的预备知识  20-27
    2.2.1 Cartan数据  20-21
    2.2.2 量子仿射代数  21
    2.2.3 有限维表示与q-特征  21-23
    2.2.4 U_q(g)-模的极小仿射化模  23-24
    2.2.5 U_q(sl_2)-模的q-特征以及FM算法  24-25
    2.2.6 截断的q-特征  25-27
第三章某些变换半群的等式性质  27-41
  3.1 引言  27
  3.2 ε_4的一个有限等式基  27-32
  3.3 定理3.2.1的证明  32-41
第四章关于上三角布尔矩阵幺半群的有限基问题  41-49
  4.1 引言  41
  4.2 J B_2是有限基的  41-46
  4.3 J B_3是本质非有限基的  46-49
第五章关于2-元素域上的所有2×2上三角矩阵构成的幺半群生成的簇  49-61
  5.1 引言  49
  5.2 J_2(F)是有限基的  49-55
  5.3 var J_2(F)的极大子簇  55-61
第六章 G_2型扩展T-系统  61-91
  6.1 引言  61-62
  6.2 主要结果  62-67
    6.2.1 一些例子  62-63
    6.2.2 模B_(k,l)~((s)),C_(k,l)~((s)),D_(k,l)~((s)),ε_(k,l)~((s)),F_(k,l)~((s))的定义  63-64
    6.2.3 扩展T-系统的第一部分  64-67
  6.3 定理6.2.3的证明  67-72
    6.3.1 C_(k,l)~((s))是特殊的  67-70
    6.3.2 B_(k,l)~((s))是特殊的  70
    6.3.3 D_(k,l)~((s))是特殊的  70-71
    6.3.4 ε_(k,l)~((s))是特殊的  71
    6.3.5 F_(k,l)~((s))是特殊的  71-72
  6.4 定理6.2.4的证明  72-80
    6.4.1 χ_q(L)χ_q(R)与χ_q(T)χ_q(B)中的支配单项式  72-76
    6.4.2 源的乘积是特殊的  76-80
    6.4.3 定理6.2.4的证明  80
  6.5 定理6.2.6的证明  80-82
  6.6 扩展T-系统的第二部分  82-85
  6.7 维数公式  85-91
第七章 XXZ型Bethe拟设方程与拟多项式空间  91-107
  7.1 引言  91
  7.2 从拟多项式空间到Bethe拟设方程的解  91-94
  7.3 从Bethe拟设方程的解到拟多项式空间  94-104
    7.3.1 定理7.3.1 的证明：N=2的情形  94-95
    7.3.2 方程(7.3.1)的等价刻画  95-97
    7.3.3 方程(7.2.9)的解的一个等价刻画  97
    7.3.4 二阶q-差分方程  97-98
    7.3.5 根据已知的解构造新的解  98
    7.3.6 定理7.3.1的证明：N≥2的情形  98-104
  7.4 附录：Wronskian等式  104-107
参考文献  107-113
在读期间完成的主要论文  113

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