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分形的控制与应用

作　者: 张永平
导　师: 刘树堂
学　校: 山东大学
专　业: 控制理论与控制工程
关键词: Julia集 Mandelbrot集 反馈控制 梯度控制 非线性耦合 最优函数 Henon映射
分类号: O415.5
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
下　载: 387次
引　用: 2次
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内容摘要


分形是现代数学和非线性科学研究中一个十分活跃的分支,特别是关于混沌运动的几何语言。由于世界的本质是非线性的,而混沌现象又是四处可见的,因此分形几何的应用领域非常广泛,是当前研究的一个热点。Julia集与Mandelbrot集是分形理论中两个具有重要地位的集合。利用复变函数理论和计算机制图相结合的方法,已发现Julia集与Mandelbrot集深藏着精细而复杂的结构,这使得它们在物理学、生物学等领域中有着广泛的应用,如经典的Langevin问题、分形力学、分形蛋白等问题的研究与应用。值得注意的是,非线性系统的Julia集是系统的一个重要的非线性特征。根据客观要求,往往需要制约非线性吸引域的区域大小;根据技术问题的实际要求,有时需要系统表现不同或近似的行为和性能。因此对于非线性系统的Julia集的有效控制就显得十分重要。但到目前为止遗憾的是,对于分形Julia集的研究仅仅涉及到它的图形的制作问题,而对于Julia集的有效控制是目前还没有涉及的一个全新的研究领域。本文首次将控制与同步的思想和方法引入到分形当中,并提出了不同系统的Julia集同步和广义同步的概念。在空间Julia集的研究中也得到了一系列结果。具体地,1.采用辅助参考反馈控制、梯度控制等方法对几种典型的函数的Julia集与Manddbrot集进行了有效的控制,如多项式函数、指数函数等;2.首次给出了两个系统的Julia集同步与广义同步的概念,并采用非线性耦合、梯度同步、最优函数等方法实现了各种典型的函数的Julia集的同步与广义同步,如多项式函数、三角函数等;3.以二维复Henon映射系统为模型,对空间Julia集进行了初步刻画并采用反馈控制、梯度控制、最优函数等方法实现了空间Julia集的控制与同步。由于Julia集也是相应系统的吸引不动点的吸引域的边界,因此也实现了对系统的不动点的吸引域的控制以及不同系统间的吸引域的同步,从而进一步对系统的稳定性进行了研究与刻画,同时也丰富了分形的理论内容。

全文目录


中文摘要  9-11
英文摘要  11-13
第1章 绪论  13-19
  1.1 引言  13-14
  1.2 课题背景与研究现状  14-17
  1.3 问题的拓展  17
  1.4 拟研究的主要内容及论文安排  17-19
第2章 混沌、分形及其应用  19-31
  2.1 混沌  19-21
  2.2 分形  21-23
  2.3 混沌与分形  23-25
    2.3.1 分形产生的物理机制  23-24
    2.3.2 混沌与分形  24-25
  2.4 分形的研究对象及其应用  25-30
    2.4.1 分形的研究对象及分类  25
    2.4.2 分形的应用  25-30
  2.5 本章小结  30-31
第3章 J-M集及其应用  31-39
  3.1 Julia集的基本理论  31-33
  3.2 Mandelbrot集的基本理论  33-36
  3.3 M-J集的应用  36-38
  3.4本章小结  38-39
第4章 Julia集的控制  39-61
  4.1 Julia集的反馈控制  39-55
    4.1.1 多项式型映射的Julia集的反馈控制  39-46
    4.1.2 指数型映射的Julia集的乘积反馈控制  46-52
    4.1.3 连续型系统的Julia集的反馈控制  52-55
  4.2 Julia集的梯度控制  55-59
  4.3 本章小结  59-61
第5章 Julia集的同步  61-79
  5.1 Julia集的非线性耦合同步  62-67
    5.1.1 多项式系统的Julia集的同步实现  63-65
    5.1.2 三角函数系统的Julia集的同步实现  65-67
  5.2 Julia集的梯度同步  67-69
  5.3 Julia集的广义同步  69-75
  5.4 Julia集的耦合  75-77
  5.5 本章小结  77-79
第6章 二维复Henon映射的Julia集的控制  79-97
  6.1 梯度控制法  80-84
  6.2 辅助参考反馈控制  84-88
  6.3 最优控制函数法  88-95
    6.3.1 Julia集的最优函数控制  88-92
    6.3.2 Julia集的最优函数同步  92-95
  6.4 本章小结  95-97
第7章 Mandelbrot集的控制  97-103
  7.1 Mandelbrot集的反馈控制  97-102
  7.2 本章小结  102-103
第8章 总结  103-105
参考文献  105-111
致谢  111-113
攻读博士学位期间完成论文  113-115
参加的科研项目  115-117
附录 完成的英文论文  117-132
学位论文评阅及答辩情况表  132

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中图分类: > 数理科学和化学 > 物理学 > 理论物理学 > 非线性物理学 > 混沌理论
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