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随机过程核密度估计的大偏差

作　者: 雷良贞
导　师: 吴黎明
学　校: 武汉大学
专　业: 概率统计
关键词: 大偏差原理 核密度估计量 集中(偏差)不等式 马氏过程 一致可积算子
分类号: O211.6
类　型: 博士论文
年　份: 2005年
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内容摘要


本篇博士论文主要研究随机过程的核密度估计的大偏差,尤其是对相依随机过程,主要结果是首次把独立同分布情形下的大偏差结果推广到了相依情形。 给定一列Rd值的平稳序列（Xk）k≥0,其边缘分布为P（X0∈dx）=f（x）dx,其中f未知,则f的核密度估计量定义如下: fn*（x）:=1/n sum from k=1 to n 1/（hn） K （（x-Xk）/h）其中K是某个事先给定的Rd上的概率密度,h=hn为窗宽,依赖于n,且满足如下条件: （?）hn=0,（?）nhnd=+∞ 本文的第一部分研究独立同分布情形,我们得到了fn*在弱拓扑下的大偏差原理以及在L1-拓扑下的弱*大偏差原理。们是Louani（2000）关于||fn*-f||1的大偏差原理的推广。更进一步地,通过应用传输不等式,我们建立了一个比Devroye（1983）经典估计更精细的集中不等式。 接下来的部分是本文的主要内容所在,研究相依情形下的大偏差估计,首先,我们考虑φ-混合过程,由于对于一般的φ-混合过程,其经验测度的大偏差原理一般不成立,所以我们不能指望建立fn*的大偏差原理。然而,在一个非常一般的条件下（φ-混合系数之和有限）,我们得到了||fn*-f||1的指数收敛性,这为今后研究特殊的φ-混合过程的大偏差原理打下了基础,接着,我们研究了两种马氏过程的情形,即一致遍历马氏过程和可逆马氏过程。一致遍历马氏过程这个经典的框架创建于Deuschel-Stroock对马氏过程经验测度的大偏差原理的研究。在此框架下,我们建立了fn*在弱拓扑下的大偏差原理以及在L1-拓扑下对初始点一致的弱*大偏差原理,另外,我们还证明了fn*在Bahadur意义下是渐近最优的,这些结果在相依情形下是全新的,为了做这样本质性的推广,我们需要克服许多技术上的困难和应用不少特殊的工具,诸如Harnack型不等式,Cramèr型偏差不等式,一致可积算子,线性算子的扰动理论,Bishop-Phelps定理等等（它们都是首次用于处理这样的问题）。最后,对于可逆马氏过程,在一致可积条件下,所有一致遍历马氏过程情形的结果都可很满意地推广到此情形。

全文目录


Introduction  8-40
  0.1 Rudiments of the theory of large deviations  8-14
    0.1.1 Origins and definitions  8-10
    0.1.2 Cramer functional and Gartner-Ellis theorem  10-12
    0.1.3 From w*-LDP to LDP : exp-tight* and the contraction principle  12-13
    0.1.4 Several references about applications of the theory of large deviations  13-14
  0.2 kernel density estimation  14-19
    0.2.1 Motivation  14-15
    0.2.2 Definition and references  15-19
    0.2.3 Approach of partition of Devroye  19
  0.3 Presentation of main results  19-32
    0.3.1 In the i.i.d. case (Chapter 1)  19-21
    0.3.2 In the φ-mixing process case (Chapter 2)  21-24
    0.3.3 In the uniformly ergodic Markov process case (Chapter 3)  24-28
    0.3.4 In the reversible Markov process case (Chapter 4)  28-32
  Bibliography  32-40
1 Large deviations and deviation inequality for kernel density estimator in L~1 (R~d)-distance (Published in: Development of Modern Statistics and Related Topics)  40-50
  1.1 Introduction  40-41
  1.2 Main results  41-43
  1.3 Proofs of the main results  43-47
    1.3.1 Proof of Proposition 1.1  43-44
    1.3.2 Proof of Theorem 1.2  44-46
    1.3.3 Proof of Theorem 1.3  46-47
  Bibliography  47-50
2 The exponential convergence of kernel density estimator in L~1 for φ-mixing processes (Published in: Annales de L'I.S.U.P.)  50-60
  2.1 Introduction  50-52
  2.2 Main results  52
  2.3 Some deviation inequalities for φ-mixing sequences  52-54
  2.4 Proofs of the main results  54-58
    2.4.1 Proof of Theorem 4.2  54
    2.4.2 Proof of Theorem 2.2  54-58
  2.5 Concluding remarks  58
  Bibliography  58-60
3 Large deviations of kernel density estimator in L~1(R~d) for uniformly ergodic Markov processes (Published in: Stochastic Processes and their Applications)  60-88
  3.1 Introduction  60-62
  3.2 Main results  62-66
  3.3 Several lemmas  66-75
  3.4 Proof of Theorem 3.1  75
  3.5 Proof of Theorem 3.2  75-78
  3.6 Proof of Theorem 3.3  78-84
    3.6.1 Proof of part (a) in Theorem 3.3  78-82
    3.6.2 Proof of Part (b) in Theorem 3.3  82-83
    3.6.3 Proof of Part (c) in Theorem 3.3  83-84
  3.7 Proof of Theorem 3.4  84-85
  Bibliography  85-88
4 Large deviations of kernel density estimator in L~1(R~d) for reversible Markov processes (To be published in: Bernoulli)  88-107
  4.1 Introduction  88-90
  4.2 Main results  90-93
  4.3 Preliminary lemmas  93-97
  4.4 Proof of Theorem 4.1  97-100
    4.4.1 Upper bound  97-98
    4.4.2 Lower bound  98-100
  4.5 Proof of Theorem 4.2  100-103
  4.6 Proof of Theorem 4.3  103-104
  4.7 Proof of Theorem 4.4  104-105
  Bibliography  105-107

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 概率论与数理统计 > 概率论（几率论、或然率论） > 随机过程
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