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几类同宿轨和异宿轨的分支问题

作　者: 乔志琴
导　师: 朱德明
学　校: 华东师范大学
专　业: 应用数学
关键词: 活动坐标架 Poincaré映射反转系统鞍中心同宿轨异宿轨异维环弱倾斜翻转双同宿轨道周期轨扭曲分支
分类号: O175.12
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

本文主要讨论了几类具有特定前提条件的同宿轨与异宿轨的分支.全文共分为五章.第一章简述了分支理论的背景和研究现状,同时还介绍了本文的主要工作.第二章研究的是四维的反转系统中,在同宿于鞍中心点的同宿轨附近所能产生的分支情况.沿着此同宿轨道建立新的活动坐标架,并利用Melnikov函数构造出Poincare映射,将问题转化为求所得到的分支方程的充分小的非负解的存在性,从而得到了1-同宿轨,1-周期轨和具有R-对称性的1-周期轨的存在条件.另外还研究了R-对称的2-同宿轨和2-周期轨的存在性.值得说明的是,这是活动坐标架的方法第一次应用在连接鞍中心点的同宿轨道上,大大的简化了对原始系统的研究.第三章讨论了四维系统中的具有弱倾斜翻转的异维环分支问题,在其它的一些通有假设条件下,利用活动坐标架方法得到分支方程,并给出了异维环的保存,1-同宿轨,1-周期轨和两重、三重的1-周期轨的存在的条件与其相对应的分支曲面的表达.最后构造了一个符合所有假设条件的向量场的例子,来说明此类具有弱倾斜翻转系统的存在性.通过这个例子,我们同时破解了构造具有倾斜翻转的非Hamilton系统的例子的难题,以及从理论上严格证明了不稳定流形和稳定流形满足强倾斜性质,即不发生倾斜翻转的难题,因而具有很好的借鉴作用.第四章研究了四维系统中带有共振条件的余维3双同宿轨的分支问题,同样构建活动坐标架和Pioncare映射,在两条同宿轨同时扭曲的情况下证明存在(12)-(或(21)-)同宿轨,(12)-周期轨、两重(12)-周期轨和鞍结点分支,并画出相应的分支图.第五章通过对一平面向量场进行坐标变换,从而构造了一个具有最低维数-3维的二次非线性系统,证明其具有异维环结构,并运用Silnikov坐标和活动坐标架方法分析该异维环在3次扰动下的分支情况.本章给出的构造异维环的方法为构造其它类型的具有或不具有退化条件的同宿、异宿和异维环提供了很好的借鉴.

几类同宿轨和异宿轨的分支问题

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