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矩阵加权广义逆与加权极分解研究

作　者: 李寒宇
导　师: 杨虎
学　校: 重庆大学
专　业: 计算数学
关键词: 矩阵广义逆加权广义逆矩阵极分解矩阵加权极分解矩阵偏序
分类号: O151.21
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

矩阵的广义逆与极分解在数值分析,矩阵逼近等方面都有很重要的应用,是矩阵理论的重要研究内容。本文主要研究有关矩阵的加权广义逆,加权极分解和矩阵偏序等方面的问题。普通的矩阵广义逆研究由来已久也趋于成熟。近年来,矩阵的加权广义逆成了矩阵理论研究的热点,许多学者在这个领域做出了一定的成果,我们也得到了一些有意义的结论。我们主要研究了矩阵的加权UDV *分解和加权谱分解以及它们在矩阵方程等方面的应用,探讨了基于加权Moore-Penrose逆的正交投影矩阵的性质及相关扰动界。此外,我们还研究并给出了关于加权广义逆的Lavoie不等式,2×2分块矩阵的加权Moore-Penrose逆的显式表达式等。矩阵的极分解和广义极分解一直是矩阵分析研究的重要内容,本文中我们对其进行了横向扩展,提出并定义了一种新的极分解形式—矩阵的加权极分解。针对这个新的矩阵分解,我们证明了其唯一性定理,给出了其唯一性条件,讨论了其极因子的最佳逼近性质;同时,我们还探讨了矩阵加权极分解的计算问题,研究了由迭代算法引起的极因子的误差界,极因子在各种范数下的各种形式的扰动界等。在对加权极分解研究的基础上,我们定义并讨论了矩阵的同时加权极分解。矩阵偏序在数理统计等方面有着重要的应用,是近年来矩阵理论研究的又一热点。本文中我们定义了一种新型矩阵偏序并研究了其基本性质。特别地,与本文提出的矩阵加权极分解和同时加权极分解相结合得到了两个有意义的结论。此外,我们还讨论了几种矩阵加权偏序之间的关系,并结合本文提出的矩阵函数研究了矩阵偏序与其函数偏序之间的关联。

全文目录

摘要  3-4
ABSTRACT  4-9
符号表  9-10
1 绪论  10-18
  1.1 矩阵广义逆  10-12
  1.2 矩阵极分解与广义极分解  12-15
  1.3 矩阵偏序  15-16
  1.4 本文的主要工作  16-18
2 加权UDV*分解与加权谱分解及其应用  18-32
  2.1 引言  18-19
  2.2 加权UDV*分解与加权谱分解  19-24
  2.3 矩阵函数  24-27
  2.4 Cauchy 公式及矩形矩阵的加权预解方程  27-31
  2.5 本章小结  31-32
3 基于加权Moore-Penrose 逆的正交投影  32-46
  3.1 引言  32-34
  3.2 正交投影与一对正交投影的标准型定理  34-39
  3.3 正交投影的连续性与扰动界  39-45
  3.4 本章小结  45-46
4 关于加权广义逆的Lavoie 不等式  46-55
  4.1 引言  46-48
  4.2 关于加权广义逆的Lavoie 不等式  48-54
    4.2.1 关于加权{2,4}-逆的Lavoie 不等式  48-51
    4.2.2 关于加权Moore-Penrose 逆的Lavoie 不等式  51-54
  4.3 本章小结  54-55
5 2×2 分块矩阵的加权Moore-Penrose 逆  55-61
  5.1 引言  55-56
  5.2 分块矩阵加权Moore-Penrose 逆的显式表达式  56-60
  5.3 本章小结  60-61
6 矩阵的加权极分解  61-73
  6.1 引言  61
  6.2 矩阵的加权极分解及其唯一性定理  61-69
  6.3 矩阵的同时加权极分解  69-70
  6.4 加权酉极因子的最佳逼近性质  70-72
  6.5 本章小结  72-73
7 加权极分解的计算及广义半正定极因子误差界  73-84
  7.1 引言  73-74
  7.2 加权极分解的计算  74-79
    7.2.1 基于加权奇异值分解的算法  74-75
    7.2.2 基于迭代方法的算法  75-77
    7.2.3 加速收敛迭代算法  77-78
    7.2.4 算例  78-79
  7.3 广义半正定近似极因子误差界  79-83
  7.4 本章小结  83-84
8 加权极分解的绝对扰动界  84-100
  8.1 引言  84-87
  8.2 加权酉不变范数下广义正定和半正定极因子的扰动界  87-93
    8.2.1 加权酉不变范数下广义正定极因子的扰动界  87-90
    8.2.2 加权酉不变范数下广义半正定极因子的扰动界  90-93
  8.3 加权酉不变范数下加权酉极因子的扰动界  93-96
  8.4 加权Frobenius 范数下加权极分解的扰动界  96-99
  8.5 本章小结  99-100
9 加权极分解的相对扰动界  100-119
  9.1 引言  100-101
  9.2 加权酉不变范数下加权酉极因子的相对扰动界  101-105
  9.3 加权Frobenius 范数下加权酉极因子的相对扰动界  105-111
  9.4 加权酉不变范数下广义半正定极因子的相对扰动界  111-114
  9.5 加权Frobenius 范数下广义半正定极因子的相对扰动界  114-118
  9.6 本章小结  118-119
10 加权极分解的乘法扰动界  119-141
  10.1 引言  119-120
  10.2 加权酉不变范数下加权酉极因子的乘法扰动界  120-126
  10.3 加权Frobenius 范数下加权酉极因子的乘法扰动界  126-133
  10.4 加权酉不变范数下广义半正定极因子的乘法扰动界  133-137
  10.5 加权Frobenius 范数下广义半正定极因子的乘法扰动界  137-140
  10.6 本章小结  140-141
11 WGL 偏序与加权极分解  141-151
  11.1 引言  141
  11.2 WGL 偏序及其性质  141-150
  11.3 本章小结  150-151
12 几种矩阵加权偏序之间的关系  151-158
  12.1 引言  151-152
  12.2 矩阵加权偏序之间的关系  152-155
  12.3 矩阵加权偏序与矩阵函数  155-157
  12.4 本章小结  157-158
致谢  158-159
参考文献  159-166
附录  166

矩阵加权广义逆与加权极分解研究

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