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α混合序列下的核密度估计量的强相合性

作　者: 赵翌
导　师: 杨善朝
学　校: 广西师范大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: α-混合 核密度估计 强相合性 一致强相合性 收敛速度
分类号: O211
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要


设随机变量X具有密度函数f（x）．X1，X2，…，Xn为总体X的样本．定义f（x）的核密度估计量为这里K（·）表示核函数，h为窗宽．在独立样本下，关于（?）n，h（x）的相合性己取得了较深入的研究．不过，对于大多数的金融、经济时间序列而言，样本的独立性不一定成立，而混合结构，尤其是α-混合结构能比较合理地刻划时间序列模型的相依结构．令{Xn，n≥1}为概率空间（Ω，F，P）上实值随机变量序列，Fnm=σ（Xi，n≤i≤m）是由随机变量序列（Xi，n≤i≤m）产生的σ代数，定义若limn→∞α（n）=0，则称随机变量序列{Xn，n≥1)为α混合．本文在α-混合序列下，讨论了核密度估计量的强相合性与一致强相合性，并给出其收敛速度．本文将使用如下基本条件：A2．1设{Xn，n≥1}是一个平稳α混合随机变量序列，具有共同概率密度函数f（x），且存在δ>0使得sum from n=1 to∞α(δ/（2+δ）（n）<∞．A2．2核函数K（u）是一个概率密度函数，在R1上有界，且满足条件：∫-∞∞uK（u）du=0和∫-∞∞u2K（u）du=σK2<∞．A2．3当n→∞时，窗宽厅满足h→0，nh→∞．主要结论为：定理2．1设基本条件（1）-（3）成立，f（x）的二阶导数f″（x）存在且在R1上有界．如果sum from n=1 to∞(nh1+δ/（2+δ）-1/δ（log2nlogn）1/δ<∞．则（?）n，h（x）-f（x）=O（h2）+o((nh1+δ/（2+δ）-1/2（log2nlogn）1/2) a.s.Bosq．D．（1996，Lemma 2．1 on page 45）在几何混合系数下，即α（n）=c0ρn，这里c0>0，ρ∈（0，1），证明了如下强相合性收敛速度的结论：如果h=cn（log n／n）1/5，其中cn→c>0，则（?）n，h（x）-f（x）=o(（n/logn）-2/5log2n) a.s.而当δ→0时，由定理2．1可知O（h2）+o((nh1+δ／（2+δ）-1/2（log2 nlogn）1/2)=O(（n／logn）-2/5)，从而得到Bosq的结论．而且，定理2．1所给的收敛速度略优于Bosq给出的收敛速度．定理2．2设基本条件（1）-（3）成立，f（x）在R1上一致连续且K（·）满足Lipschitz条件．（1）如果存在某个γ>0使得n1-（1+γ）δ/（2+δ）h1+3δ／（2+δ）（lognlog23n）-δ/（2+δ）／logn→∞，那么（2）设f（x）的二阶导数f″（x）存在且在R1上有界．如果n1/2-（2+γ）δ/（2+δ）h1／2+3δ／（4+2δ）／log1／2n→∞，则在几何α混合情形下，对无限小的δ>0，如果h=cn（logn／n）1／5，其中cn→c>0，有由此本文给出如下推论：推论2．1设基本条件（1）-（3）成立，f（x）在R1上一致连续且K（·）满足Lipschitz条件．如果混合系数α（n）为几何衰减且nh／log n→∞，那么对任意给定的γ>0，有这是Bosq的定理2．2的结论1．推论2．2设基本条件（1）-（3）成立，f（x）在R1上一致连续且K（·）满足Lipschitz条件．如果混合系数α（n）为几何衰减且h=cn（logn／n）1/5，其中cn→c>0，那么对任意给定的γ>0，有这是Bosq的定理2．2的结论2．推论2．3设基本条件（1）-（3）成立，f（x）在R1上一致连续且K（·）满足Lipschitz条件．如果h=Cn-1/5，那么本文结论在定理成立的条件和收敛速度方面改进了Bosq（1998）的结论．全文共分为四章，在第一章中，我们介绍核密度估计量的一些相关知识及其相合性的研究状况．第二章，我们给出了α混合的概念和定理证明中需要的几个基本假定条件，并给出本文的主要结论及其推论．第三章中我们给出了定理证明过程中所用到的几个引理．第四章中我们详细证明了两个定理，主要是在α-混合序列下，通过应用相关不等式得出相应的结论．第五章是本文小结．

全文目录


摘要  3-6
Abstract  6-10
第一章 引言和预备知识  10-13
  1.1 引言和预备知识  10
  1.2 文献综述  10-13
第二章 主要结论  13-15
第三章 几个引理  15-18
第四章 定理的证明  18-25
  4.1 定理2.1的证明  18-20
  4.2 定理2.2(1)的证明  20-22
  4.3 定理2.2(2)的证明  22-25
第五章 本文小结  25-26
参考文献  26-28
攻读硕士期间的主要研究成果  28-29
致谢  29-30

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 概率论与数理统计 > 概率论（几率论、或然率论）
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