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对称正定Toeplitz型方程组的混合预处理

作　者: 郭国超
导　师: 刘仲云
学　校: 长沙理工大学
专　业: 应用数学
关键词: Toeplitz矩阵共轭梯度法(CG) 预处理共轭梯度法(PCG) Strang循环矩阵 T.Chan循环矩阵 FFT变换
分类号: O241.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 6次
引　用: 0次
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内容摘要

Toeplitz矩阵在图像处理、信号处理等工程领域中有着广泛的应用,其理论与结构算法被广为研究。直接法和迭代法是解Toeplitz方程组的两种主要方法,对于低阶方程组,一般用直接法进行求解,而对于高阶方程组,一般情况下直接法不在适用,迭代法成为了更有效的方法。在本文中,我们研究系数矩阵为对称正定Toeplitz矩阵加对角矩阵Dn的方程组的解,即(Tn+Dn)χ=b,其中Tn、Dn,分别表示Toeplitz矩阵和对角矩阵。然而不像Toeplitz方程组,快速直接解法并不适合求解这类问题,于是我们构造一个新混合预条件子,利用PCG方法对该类问题求解,本文中的混合预条件子可以通过FFT快速构造和实施。我们首先给出该问题的研究背景及现状,简单介绍一些基本知识和几类基本迭代方法；然后分析本文方法的迭代收敛性,给出数值例子验证本文方法的可行性,最后给出总结和展望。本文论文结构共分为六个部分,下面介绍一下：第一章、简单介绍该问题的研究背景和现状以及本文适用的方法。第二章、主要介绍本文中用到的一些定义、引理、定理及其性质。第三章、我们介绍了六种最基本的迭代方法,由于基本迭代法不适用本文讨论的方程组,引出共轭梯度法和预处理共轭梯度法在这类问题中的重要性。第四章、分析预处理矩阵的谱性质,通过证明预处理矩阵有限个特征值聚集在1的某个小区间外,从理论上证实本文方法的可行性。第五章、分别讨论对角矩阵Dn的元素在区间(0,1)内满足均匀分布、正态分布时,给出不同迭代方法对应的迭代次数、时间、谱半径。总结、对第五章数值实验的数据进行分析,并给出结论。

全文目录

摘要  5-6
ABSTRACT  6-8
符号说明  8-10
第一章绪论  10-13
  1.1 研究背景及现状  10-12
  1.2 本文的创新方法  12-13
第二章预备知识  13-20
  2.1 Toeplitz矩阵  13-14
  2.2 循环矩阵  14-15
  2.3 对角矩阵  15
  2.4 几类经典循环预条件子  15-16
  2.5 矩阵相关概念及结果  16-20
第三章几类迭代方法简介  20-30
  3.1 迭代法概述  20-22
  3.2 基本迭代方法  22-25
  3.3 基本迭代法的收敛性分析  25-26
  3.4 共轭梯度法及其性质  26-28
  3.5 共轭梯度法的收敛性  28
  3.6 预处理共轭梯度法  28-30
第四章对称正定Toeplitz型方程组的混合预处理  30-37
  4.1 预条件子的构造  31-32
  4.2 预处理矩阵的特征值分析  32-37
第五章数值实验  37-45
  5.1 对角矩阵D_n的元素满足均匀分布  37-40
  5.2 对角矩阵D_n见的元素满足正态分布N(μ,0.1~2)  40-42
  5.3 对角矩阵D_n的元素满足正态分布N(μ,0.3~2)  42-45
总结与展望  45-46
参考文献  46-50
致谢  50-51
附录 (攻读学位期间发表的论文)  51

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