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一类非线性矩阵方程的扰动分析

作　者: 梁颖
导　师: 张玉海
学　校: 山东大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性矩阵方程 Hermite正定解最大解扰动界
分类号: O151.21
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 42次
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内容摘要

非线性矩阵方程是数值代数领域和非线性分析领域研究的重要内容之一.此类方程有着广泛应用,包括动态规划,控制论,阶梯网络,随机筛选和统计学等.本文研究非线性矩阵方程X+A*X-1A=I (1)的Hermite正定解,其中A是m×m非奇异复矩阵,I是m×m单位矩阵,A*为矩阵A的共轭转置,n为正整数.本文给出了此方程的最大解的定义和方程存在唯一最大解的一些新的充分条件,且提出了最大解的一些新性质.令系数矩阵A受到轻微扰动,即j=A+AA,AA∈Cm×m.扰动后的方程为X+A*X-nA=I. (2)在‖A‖<nn/(n+1)n+1的条件下,根据Schauder不动点定理和隐函数定理,得到了该矩阵方程最大解的新的更好的一阶扰动界,并且基于Rice条件数的理论,得到了最大解的条件数的明确表达,并利用数值例子验证了文中所得结论的正确性.定理2.1.1.当‖A‖2≤4/27时,则矩阵方程X+A*X-2A=I的最大解XL满足定理2.1.2.当X∈Ω1且满足‖X-1AX-1/2‖2<1/2时,则X>2/3I,且X为矩阵方程X+A*X-2A=I的唯一最大解.定理2.1.3.当X∈Ω且满足‖X-1A‖<(?)时,则X>2/3I,且X为矩阵方程X+A*X-2A=I的唯一最大解.定理2.2.1.当‖A‖2<nn/(n+1n+1)/nn时,则矩阵方程(1)存在唯一最大解.定理2.2.2.当X∈Ω2且满足(1-λmin(X))λmaxn(X)<nn/(n+1)n+1时,则X是矩阵方程(1)的唯一最大解.定理2.2.3.当‖A‖2<nn/(n+1)n+1时,则矩阵方程(1)的最大解XL满足引理3.1.当‖A‖2<nn/(n+1)n+1时,线性算子L：Hmxm→Hm是可逆的，且‖L-1‖≤1/p其中p=1-n(n+1/n)(n+1)‖A‖2定理3·1.当(1)(?)(2)(?)时,则扰动后的方程(2)的最大解XL存在,且满足其中U*是如下方程的最小正数解定理4.1.矩阵方程(1)的最大解XL的条件数(XL)=(?)的明确表达为C(XL)=(?),其中Uc=(?).

全文目录

中文摘要  6-8
ABSTRACT  8-11
符号说明  11-12
第一章引言  12-18
第二章矩阵方程的最大解及其性质  18-25
  §2.1 X+A~*X~(-2)A=I的最大解及其性质  18-21
  §2.2 X+A~*X~(-n)A=I的最大解及其性质  21-25
第三章最大解的扰动分析  25-33
第四章最大解的条件数  33-36
第五章数值例子  36-38
参考文献  38-40
致谢  40-41
学位论文评阅及答辩情况表  41

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