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基于局部近似均值带BV正则化的函数重构方法与应用

作　者: 蒋乐
导　师: 黄建国
学　校: 上海交通大学
专　业: 计算数学
关键词: BV正则化函数重构有限元方法 Split Bregman方法
分类号: O174
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
下　载: 18次
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内容摘要

基于局部平均近似值的函数重构在环境科学、数理统计、图像处理、计算力学等领域有重要应用。该问题是一个不适定问题，从而为相应的数值求解算法的构造带来困难。一个解决途径是正则化方法。基于H1 -半模的正则化方法已获得，但该方法对精确函数带间断情形有局限。本文提出了基于BV-正则化的函数重构方法，该方法的正则化项由函数的有界变差导出，可以有效处理带有间断的分片连续函数的重构问题。文中证明了该方法的解的存在唯一性，并进行了误差分析。又通过有限元方法，将最小化目标泛函变分问题转化为一个最优化问题：minfkAu bk22 + jjBujj1;2g。对于此最优化问题，已有很多计算算法，例如：Split Bregman，BOS，PDHG等。本文采用的是Split Bregman方法求解。在数值实验部分，验证了前文的理论结果，并对比了此方法和已有的H1正则化方法的计算效果，得出了若干数据分析结论。本文受国家自然科学基金中、德、芬国际合作项目资助（编号：11161130004）

全文目录

摘要  3-4
ABSTRACT  4-7
第一章引言  7-8
第二章基本概念和理论  8-10
  2.1 关于 TV 及 BV 空间的简介  8-10
    2.1.1 TV 的定义及 BV 函数  8
    2.1.2 BV 函数空间及一些相关性质  8-10
第三章基于局部近似均值带BV正则化的函数重构方法  10-11
  3.1 问题的简单介绍  10
  3.2 解决问题的方法  10-11
第四章问题(*)和问题(**)解的存在性、收敛性等理论分析  11-20
  4.1 问题(*)的解的存在性,唯一性及误差分析  11-15
    4.1.1 存在性  11-13
    4.1.2 唯一性  13-14
    4.1.3 误差分析  14-15
  4.2 问题(**)解的存在性、收敛性和误差分析  15-20
    4.2.1 存在性  15
    4.2.2 收敛性和误差分析  15-20
第五章问题(*)的求解  20-22
  5.1 问题(*)的有限元离散化  20-21
  5.2 离散TV正则化的分裂Bregman方法  21-22
第六章数值实验  22-42
  6.1 连续函数的情形  22-30
    6.1.1 实验1:N对结果的影响  22-24
    6.1.2 实验2:M对结果的影响  24-27
    6.1.3 实验3:正则化参数α对结果的影响  27-30
    6.1.4 实验4:在不同的噪声水平下图像恢复情况  30
  6.2 分片连续函数的情形  30-36
    6.2.1 实验5:N对实验结果的影响  31
    6.2.2 实验6:M对实验结果的影响  31-34
    6.2.3 实验7:正则化参数α对实验结果的影响  34
    6.2.4 实验8:分片连续函数的恢复情况  34-36
  6.3 以TV 和H1作为正则化项两种方法的比较  36-42
    6.3.1 连续函数情形下二者的比较  36-39
    6.3.2 分片连续函数情形  39-42
第七章主要结论和展望  42-43
参考文献  43-46
致谢  46-49
附件  49

基于局部近似均值带BV正则化的函数重构方法与应用

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