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二阶变系数线性微分方程的解法

作 者: 夏敦行
导 师: 甘欣荣
学 校: 武汉科技大学
专 业: 应用数学
关键词: 变系数二阶微分方程 变量变换 常数变易 通解 线性变换
分类号: O175.1
类 型: 硕士论文
年 份: 2009年
下 载: 486次
引 用: 1次
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内容摘要


二阶线性齐次微分方程在微分理论中占有重要位置,在科学研究、工程技术中有着广泛的应用,其中有很多应用类型的问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题,而常系数微分方程根据线性常微分方程的一般理论是可解的.然而变系数二阶线性常微分方程的求解却十分困难,至今还没有一个普遍有效的方法,通常采用的级数解法只能得到某点领域内的局域解或者近似解,不便于科学研究的分析。因此探讨它们的解法具有重要的理论和应用价值。在微分方程理论中,一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究,它们总是可解的.但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。如果通过某些适当的变换将给定的二阶变系数微分方程化为常系数微分方程,则该二阶变系数微分方程就可以求解.问题在于怎么样才能知道该二阶变系数微分方程能化为可解的二阶常系数线性微分方程,以及通过什么样的变换才能化为常系数线性微分方程.本文通过对微分方程理论的研究,用不同的方法探讨这类问题,扩展了变系数线性微分方程的可积类型,借助变量变换等方法将给定的变系数线性微分方程化为常系数方程求解,提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤。二阶变系数微分方程有齐次与非齐次之分,本文分别对这两种类型的求解方法做了研究与探讨,为以后的方程求解工作奠定了基础.

全文目录


摘要  4-5
ABSTRACT  5-7
第一章 绪论  7-10
  1.1 微分方程的发展和应用  7
  1.2 二阶变系数线性常微分方程的重要性  7-8
  1.3 二阶变系数线性常微分方程求解所面临的问题  8
  1.4 本文的研究内容及意义  8-10
第二章 二阶变系数线性常微分方程的常系数化法  10-15
  2.1 线性常微分方程的常见的保线性变换  10-11
  2.2 化变系数微分方程为常系数微分方程  11-13
  2.3 通过自变量和未知联合变换实现常系数化  13-14
  2.4 变系数方程常系数化求解的步骤  14-15
第三章 二阶变系数线性微分方程的解法  15-31
  3.1 引言  15-19
  3.2 待定函数法  19-21
  3.3 自变量变换法  21-25
  3.4 常数变易法  25-31
第四章.变系数非齐次线性微分方程的求解  31-39
  4.1 常数变易法  31-32
  4.2 变量代换法  32-39
第五章 总结  39-40
参考文献  40-42
致谢  42-43
硕士期间发表的论文  43

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 常微分方程
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