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非线性方程组的一种修正牛顿法及其连续型

作　者: 马元婧
导　师: 韩波
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性方程组牛顿迭代法修正牛顿法收敛性收敛速率
分类号: O241.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 92次
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内容摘要

本文主要讨论用一种修正牛顿法求解非线性算子方程。在通常情况下,非线性算子方程的解不能精确解出,而是用数值方法求其近似解。对于求解非线性算子方程,主要采用迭代法。其中,牛顿法是一种普遍适用的迭代法。它的计算格式简洁,程序简单,而且收敛速度快,适用范围广。多年来,众多学者对经典牛顿法提出多种改进方案,求解形如F ( x )=θ的非线性算子方程(其中F : D ? R n→Rn),如:萨马斯基提出的修正牛顿法,阻尼牛顿法,拟牛顿法等各种变形。每种形式的变形都有其优点,也有其不足。在解非线性算子方程时,常会遇到这种情况:初值在真解附近,使用牛顿法进行迭代,最终结果却发散,或者收敛到其它解。近二十年左右,有人提出了解决此种情况的几种方案。比如:阻尼牛顿法,A-稳定法,隐式Runge-Kutta方法,以及一种修正牛顿法。这种新的修正牛顿法,即对牛顿法添加一个修正项,根据经验选取修正项在初值附近,得到了一个收敛的迭代格式。此方法在求解非线性算子方程时更简单易行,但其证明过程不够准确,存在一些问题。本文针对这种修正的离散型牛顿法,给出完善的收敛性证明以及收敛速率,并应用数值算例验证算法的可行性。进一步,提出修正的连续型牛顿法的形式,并给出收敛性证明以及收敛速率。在数值算例中,用Rosenbrock半隐式方法求解常微分方程初值问题,验证了理论结果。

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-6
第1章绪论  6-13
  1.1 课题背景及意义  6-11
    1.1.1 牛顿法及其变形  6-8
    1.1.2 二次曲线逼近法  8-9
    1.1.3 同伦摄动方法  9-11
  1.2 牛顿法的发展  11-12
  1.3 本文的主要工作  12-13
第2章修正的离散型牛顿法  13-25
  2.1 牛顿法的半局部收敛性  13
  2.2 修正的离散型牛顿法  13-20
  2.3 数值算例  20-22
  2.4 算法改进  22-24
  2.5 本章小结  24-25
第3章修正的连续型牛顿法  25-34
  3.1 求解适定问题的连续型方法  25-27
  3.2 修正的连续型牛顿法  27-30
  3.3 用半隐式方法求解常微分方程初值问题  30-33
    3.3.1 Rosenbrock半隐式方法  30-32
    3.3.2 数值算例  32-33
  3.4 本章小结  33-34
结论  34-35
参考文献  35-39
攻读硕士学位期间所发表的论文  39-41
致谢  41

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