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求解对称矩阵特征值问题的Lanczos算法的改进及分析

作　者: 王欣欣
导　师: 高广宏
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 特征值 Lanczos算法 EM算法对称矩阵 Hamilton矩阵
分类号: O241.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 167次
引　用: 1次
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内容摘要

本论文主要研究了求解大型稀疏对称矩阵的特征值的Lanczos算法,针对初始Lanczos向量的赋值问题,提出了一种新的算法EM-Lanczos算法,并对正定Hamilton矩阵给出了平方辛EM-Lanczos算法。首先,阐述了矩阵特征值问题相关算法的发展历史,并介绍了一类特殊矩阵Hamilton矩阵特征值问题的背景。其次,对于求解大型稀疏对称矩阵的Lanczos算法进行了分析。针对算法过程中正交性丢失的现象,用选择再正交化策略进行弥补,得到了选择正交化Lanczos算法,该算法能以较少的额外工作量保持Lanczos向量几乎正交。最后,提出了EM-Lanczos算法。当要求的矩阵特征值的特征向量与Lanczos初始向量所赋值几乎正交时,算法可能会出现“误收敛”,于是提出了修正的EM算法。运行该算法得到初始Lanczos向量,然后进行Lanczos算法求解特征值,就得到了EM-Lanczos算法。作为一个应用,对于正定Hamilton矩阵,利用平方辛EM-Lanczos算法求解其特征值。数值算例及误差分析表明,利用EM-Lanczos算法求特征值,解的精度得到了提高。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
第1章绪论  8-17
  1.1 课题背景及来源  8-9
  1.2 矩阵特征值相关算法概述及研究现状  9-13
    1.2.1 特征值问题算法  9-13
    1.2.2 EM算法背景  13
  1.3 Hamilton矩阵及特征值背景  13-16
  1.4 本文主要研究内容  16-17
第2章对称矩阵的Lanczos方法  17-27
  2.1 对称特征值问题  17-18
  2.2 Lanczos算法基础  18-21
    2.2.1 Lanczos迭代  18-20
    2.2.2 瑞利－里茨方法  20-21
  2.3 Lanczos算法  21-25
    2.3.1 Lanczos算法及收敛性分析  21-23
    2.3.2 Lanczos算法的执行  23-25
  2.4 本章小结  25-27
第3章 EM-Lanczos算法  27-38
  3.1 EM算法  27-31
    3.1.1 EM算法  27-28
    3.1.2 修正EM算法  28-31
  3.2 EM-Lanczos算法  31-32
  3.3 数值实验  32-37
  3.4 本章小结  37-38
第4章 EM-Lanczos算法在Hamilton矩阵中的应用  38-47
  4.1 Hamilton矩阵  38-39
  4.2 Hamilton矩阵的辛EM-Lanczos算法  39-45
    4.2.1 平方正定Hamilton矩阵  39-40
    4.2.2 平方辛Lanczos算法  40-44
    4.2.3 平方辛EM-Lanczos算法  44-45
  4.3 数值实验  45
  4.4 本章小结  45-47
结论  47-48
参考文献  48-53
致谢  53

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