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几类四阶微分方程周期解的性态研究

作　者: 覃荣存
导　师: 冯春华
学　校: 广西师范大学
专　业: 应用数学
关键词: 微分方程时滞周期解 HollingⅢ类功能反应脉冲多重正周期解
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

微分系统的周期解体现了系统的规律性变化,历来受到诸多学者的重视.周期系统不仅在天文学和经济学中,而且在生态学、通讯理论与控制理论等中也广泛的存在.而周期解的性态一直是泛函微分方程理论研究的重要分支,尤其是近几十年来取得了实质和全面的发展,其研究成果非常丰富,许多文献和著作都总结和收录了这方面的工作,但是对于高阶泛函微分方程周期解的性态研究其成果仍然较少.本文讨论了几类含有时滞或脉冲效应的四阶微分系统,利用不同的研究方法得出几类系统存在一个或多个周期解,以及周期解是全局渐近稳定的充分条件或充分必要条件,并且针对每章的结果给出一些例子说明该结果的可行性.全文结构如下：第一章为绪论,简要介绍周期解、时滞微分方程、生态数学和脉冲微分方程发展的历史以及已经展开的一些研究工作,然后提出本文讨论的一些问题.第二章,运用Fourier级数理论和实分析不等式方法,主要讨论一类四阶混合型微分方程周期解的存在性和唯一性：证明在一定条件下,该系统存在唯一以2T为周期的周期解.给出如下条件：第二章的主要结论：定理2.2.1设δ>0,则方程(2.1.1)存在以2T为周期的三阶连续可微解的充要条件是对一切自然数n,下述关于b0,bn,ln的代数方程组有解：定理2.2.2在方程(2.1.1)中,设δ>0,则方程(2.1.1)存在唯一以2T为周期的三阶连续可微解的充要条件是定理2.2.3在方程(2.1.1)中,设δ>0,hj=2λjT,rk=2λkT(λj,λk为正整数；j=1,2,…,m;k=1,2,…,n),程(2.1.1)存在唯一以2T为周期的三阶连续可微解,如果下列条件之一成立：不为自然数；不为自然数；不为自然数.第三章,主要讨论一类具有时滞和HollingⅢ类功能反应的两捕食者和两食饵的四种群捕食系统：首先证明系统在适当条件下是一致持久,然后利用Brouwer不动点定理建立了这类系统的正周期解的存在性结果,最后通过构造合适的Lyapunov泛函,给出了该系统的正周期解全局渐近稳定和唯一的充分条件.下面引入如下条件：φ∈C+,φ(0)>0. (3.1.2)(H3.1)b3L<k1Md1M+k2Md3M,b4L<k3Md2M+k4Md4M；(?)(H3.3)Ai>0(i=1,2,3,4).第三章主要结论：定理3.2.1假设条件(H3.1)和(H3.2)成立,则系统(3.1.1)是一致持久.定理3.2.2若系统(3.1.1)满足初始条件(3.1.2),并且满足条件(H3.2),则系统(3.1.1)在R+4内至少存在一个正T-周期解.定理3.3.1若系统(3.1.1)满足条件(H3.1),(H3.2)和(H3.3),则系统(3.1.1)存在全局渐近稳定的唯一正周期解.第四章,首先在无脉冲效应影响下,讨论如下一类具有两个捕获率的时滞Lotka-Volterra竞争斑块系统多重正周期解的存在性：然后进一步地将系统(4.1.3)推广到含有脉冲的情形：利用迭合度理论中的延拓定理和分析的技巧,得出这类系统至少存在四个正T-周期解的几个充分条件.给出下列条件：(H4.1)ai(t),bi(t),ci(t)(i=1,2,3,4),Di(t),Hi(t),βi(t)(i=1,2)都是正的连续T-周期函数；(H4.2)ki(s)≥0是[-Ti+2,0](0<Ti+2<∞)上的分段连续正规化函数,并且使得ki(s)ds=1,i=1,2；(H4.3)a1l>c1uM2+D1u+2(?),a2l＞c2uM3+D2u+2(?)；(H4.4)H1l-D1uM1>0,H2l-D2uM1>0；(H4.5)a3l-c3ul1+>0,a4l-c4ul2+>0；(H4.6)存在正整数p,使得tk+p=tk+T,bi(k+p)=bik,i=1,2,3,4.(H4.7)r1l>c1uN2+D1u+2(?),r2l>c2uN3+D2u+2(?)；(H4.8)H1l-D1uN1>0,H2l-D2uN1>0；(H4.9)r3l-c3uL1+>0；(H4.10)r4l-c4uL2+>0；第四章主要结果：定理4.3.1如果条件(H4.1)-(H4.5)成立,则系统(4.1.3)至少存在四个正T-周期解.定理4.3.2如果条件(H4.1),(H4.2),(H4.6)-(H4.10)成立,则系统(4.1.5)至少存在四个正T-周期解.推论4.3.1如果条件(H4.1)-(H4.4)成立,并且满足条件(H’4.5)(?),则系统(4.1.3)至少存在四个正T-周期解.推论4.3.2如果条件(H4.1),(H4.2),(H4.6)-(H4.8)成立,并且满足条件(H’4.9)(?)(?),则系统(4.1.5)至少存在四个正T-周期解.第五章,对本论文进行小结并提出几个值得进一步研究的问题.

全文目录

中文摘要  3-8
英文摘要  8-14
第一章绪论  14-19
  §1.1 背景介绍  14-16
  §1.2 本文的主要工作  16-18
  §1.3 预备知识  18-19
第二章一类四阶混合型微分方程周期解的存在性  19-27
  §2.1 引言  19-20
  §2.2 主要定理及其证明  20-25
  §2.3 应用举例  25-27
第三章具有时滞和Holling功能反应的捕食系统的定性分析  27-40
  §3.1 引言  27-29
  §3.2 一致持久性和正周期解的存在性  29-32
  §3.3 正周期解的全局渐近稳定性和唯一性  32-39
  §3.4 应用举例  39-40
第四章具有捕获率的Lotka-Volterra斑块系统的多重正周期解  40-59
  §4.1 引言  40-42
  §4.2 预备知识  42-44
  §4.3 主要定理及其证明  44-57
  §4.4 应用举例  57-59
第五章小结及进一步研究的问题  59-60
参考文献  60-64
攻读硕士期间完成论文  64-65
致谢  65-67

几类四阶微分方程周期解的性态研究

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