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关联几何的若干问题研究

作　者: 王玲玲
导　师: 黄礼平
学　校: 长沙理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 关联几何射影几何仿射几何除环 Bezout整环加权半仿射映射
分类号: O185
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 7次
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内容摘要

经典几何现在被推广为关联几何,它其中包含最为基础的射影几何与仿射几何,很多文献中使用不同的公理化定义,而且证明这些不同的公理化定义的等价性是困难的,这给理解与应用成果带来麻烦.目前关联几何的发展趋势之一是研究环上几何,以及”较弱条件下的几何变换问题”,即简化几何基本定理的条件使之更完美和便于应用.上世纪九十年代以来,国外几位学者刻画了较弱条件下的射影几何基本定理,即刻画了两个体上射影几何之间的将直线映射到直线之内的映射.本文将在此基础上,进一步讨论与完善射影几何与仿射几何理论.本文共分三章.第一章简要介绍课题背景,研究内容和主要结果.本文第二章,给出了射影几何公理化定义,讨论了射影几何的等价定义,射影几何的基本性质,射影几何与向量空间的关联,射影几何之间的态射,除环上左(右)向量空间之间的半线性映射.上世纪九十年代之后,国外几何学家证明了较弱条件下的射影几何基本定理,本文对这个重要基本定理的证明进一步的整理与修改,使之更容易阅读与理解.在第二章的最后一节,讨论了Bezout整环上射影几何理论.主要结果是应用环论中的局部化方法,证明了Bezout整环上射影几何基本定理,内容如下：设R’,R是两个Bezout整环,R是R的分式除环,V’=R’R’n,V=RRn,V=RRn,n≥3.设g：P(V’)→P(V)是一个非退化的射影态射,则存在标准态射τ：V→V使得rog是从P(V’)到P(V)的非退化的(射影)态射,并且Υog((x))=<xσp>,(?)x∈V’,其中P∈Rn×n是固定的,σ：R’→R是环同态且1R’σ=1R,OR’σ=OR.本文第三章,介绍了仿射几何理论,讨论了仿射几何之间的态射和加权半仿射映射理论.我们知道下述的较弱条件下的仿射几何基本定理：设VV’分别为维数≥2的除环D,D’上左或右向量空间,其中|D|≥4,则每个非退化的仿射态射f：V--→Ｖ’是加权半仿射映射.这是一个很重要的结果,但文献中对它的讲述还不是很详细,因此本文对这个定理的证明进行了整理与修改,还给出了加权半仿射映射的具体公式,以便于容易理解和应用.

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-9
符号表  9-10
第一章绪论  10-12
  1.1 课题背景  10
  1.2 论文的研究内容  10-12
第二章射影几何理论  12-28
  2.1 射影几何公理化定义及射影几何基本性质  12-18
  2.2 除环上半线性映射  18-21
  2.3 除环上射影几何基本定理  21-24
  2.4 Bezout整环上射影几何  24-28
第三章仿射几何介绍及除环上仿射几何基本定理  28-36
  3.1 仿射几何的基本概念  28-31
  3.2 加权半仿射映射  31-36
参考文献  36-40
致谢  40-41
附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录  41

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