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高阶数值流形方法中线性相关问题的研究

作　者: 郭朝旭
导　师: 郑宏
学　校: 三峡大学
专　业: 岩土工程
关键词: 数值流形方法线性相关单位分解 LDL分解刚度矩阵
分类号: TU45
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

岩体的非连续性与非均匀性越来越受到工程界与学术界的重视。其表现在两个方面，即：(l)岩体强度理论的发展：岩体强度理论从经典的材料力学理论，经历岩体断裂力学理论，到方兴未艾的岩体损伤力学理论，这一发展过程本身就是对岩体的非连续性与非均匀性的逐步重视与深入研究的过程。(2)岩体材料特点的认识：岩体既不是连续体亦非完全离散体，因此可以将岩体抽象为“断续介质”。“断续”与离散及连续相对应，反映了岩体介于完全连续与离散之间的特点。岩石在变形、破坏过程中的非连续变形行为计算与数值模拟是岩体力学与工程领域中一个比较热门的前沿课题。岩体力学的各种新兴数值方法与技术几乎都是围绕这一中心课题展开研究。实际岩体结构与材料变形，一般是一个从小变形、损伤演化、宏观裂纹形成与扩展、直至断裂破碎甚至发生散体刚体运动等大变形、大位移的一系列复杂的渐进变形与破坏过程。然而，与实际岩体的这种变形破坏特点很不相称的是，岩土数值分析方法一直呈现两极分化的态势。一方面是以有限元方法（FEM）为主的，基于完全连续或基体连续(基体是指除岩体中某些宏观非连续界面以外的材料)假说之上的连续性分析方法；另一方面则是以非连续变形分析（DDA)与离散单元法（DEM）为代表的基于块体理论、离散介质假说基础之上的完全非连续性分析方法。石根华博士于1991年提出的数值流形元（NMM）方法将连续与不连续方法统一在一起，可以解决小变形、大变形及不连续变形等问题，而且公式统一，近几年来得到了长足的发展。然而其基础问题：采用高阶的局部位移场逼近物理对象流形单元位移场时，形成的整体刚度矩阵会变成亏秩矩阵，因而会导致多解，即所谓的刚度矩阵“线性相关”问题。Ma和An也在其特邀综述中，将线性相关问题作为NMM发展中第一个需要解决的问题，同时该问题也被它的发明者石根华博士称为一个钉子“问题”。本文首先对数值流形元方法进行了基本的理论介绍，总结现有的研究成果，采用方便编程计算的最新的改进方法进行编程计算。并对NMM中线性相关问题进行了如下研究：（1）分析并证明了NMM中线性相关问题产生的根本原因，并可以根据局部位移场函数的多项式阶数预测整体刚度矩阵亏秩的个数。（2）根据NMM中线性相关问题产生的原因提出两种解决方法，基于修改的LDLT方法解亏秩的刚度矩阵方程组和构造非多项式的单位分解函数。（3）根据两种对NMM线性相关问题的解决方案设计相应的算法，并且分别利用经典算例进行了对比分析，结果表明本文的解决方案方便快捷，为NMM方法在今后的发展提供最基本的保障。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
1 绪论  10-17
  1.1 引言、研究目的和意义  10-11
  1.2 数值流形方法的国内外研究现状  11-15
  1.3 本文的主要工作  15-17
2 高阶数值流形方法基本理论及对其的若干改进  17-34
  2.1 数值流形方法的基本概念——覆盖系统  17-18
  2.2 单位分解函数  18-19
  2.3 NMM 的局部位移场函数  19-20
  2.4 NMM 的单元分析  20-23
  2.5 固定点矩阵及等效荷载列阵  23-28
  2.6 NMM 不同阶次的单元位移模式  28-29
  2.7 算例分析  29-33
  2.8 本章小结  33-34
3 高阶数值流形方法中的线性相关问题  34-43
  3.1 高阶数值流形方法中的线性相关问题原因分析  34-35
  3.2 高阶数值流形线性相关问题中刚度矩阵亏秩个数的预测  35-38
  3.3 各节点广义位移的张成唯一性的数值证明  38-42
  3.4 本章小结  42-43
4 基于 LDLT 分解法的线性相关问题解决方法  43-48
  4.1 几种常见的处理线性相关问题的算法  43-45
  4.2 修正的 LDLT 分解算法  45-46
  4.3 算例  46-47
  4.4 小结  47-48
5 基于构造单位分解函数的线性相关问题解决方法  48-61
  5.1 单位分解函数的构造方法的现状  48-51
  5.2 无限光滑单位分解函数的构造  51-59
  5.3 算例  59-60
  5.4 本章小结  60-61
6 结论与展望  61-64
  6.1 结论  61
  6.2 展望  61-64
参考文献  64-68
后记  68-69
附录  69

高阶数值流形方法中线性相关问题的研究

内容摘要

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