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广义Hamilton系统低维不变环面的保持性

作　者: 刘柏枫
导　师: 李勇
学　校: 吉林大学
专　业: 应用数学
关键词: 广义Hamilton系统低维不变环面 KAM定理 Rüssmann条件
分类号: O177
类　型: 博士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

上世纪50，60年代由三位著名数学家Kolmogorov([32])，Arnold([1])，Moser([45])建立起来的经典KAM理论是Hamilton系统理论发展的里程碑，具有划时代意义，它使太阳系的稳定性得到合理的解释，并使人们能够以一种新的方法来研究Hamilton系统．建立在2n维光滑辛流形上的经典KAM理论断言，在Kolmogorov非退化性条件下，可积系统的大多数非共振不变环面在小的摄动下保持下来，经过几十年的发展，KAM理论已发展成为一套比较完整的理论，首先是定理的光滑性降低了，其次经典的KAM理论被推广到各种退化情形(未摄动系统的Hessian矩阵是退化的)，如Bruno([10])，Rüssmann([57,58])，程崇庆、孙义燧([16])，徐君祥、尤建功和仇庆久([70])、Sevryuk([63])等，他们在各种部分非退化性条件下证明了KAM不变环面的保持性，在各种非退化性条件中，最弱的是由Rüssmann给出的几何性条件：频率ω(I)=((?)h(I))/((?)I)不在通过原点的任何超平面上，在文献[70]中徐君祥、尤建功和仇庆久证明了，在解析条件下，Rüssmann给出的几何性条件和条件 rank{((?)~αh(I))/((?)I~α):(?)O＜|α|≤n-1}=n是等价的。经典的KAM理论也被推广到辛流形(R×T~n，ω~2)，l＜n，l+n是偶数，如Parayuk([52])，Herman[31]，Moser([47])，上面提到的结果都假定和Hamilton系统相联系的辛形式是常系数的，非常系数的由从福仲和李勇([21])作了研究。吉林大学博士学位论文建立在辛流形上的Hamilton系统，由于有辛形式存在，所以给研究的问题带来了很大方便.对于奇数维的Hamilton系统由于没有辛结构，故经典Hamil七on系统理论中的一些结果不再可用，因此奇数维KAM理论的发展被看作是一件具有挑战性的工作(!22，44，64}).对保体积流的奇数维的KAM理论由Broer，Hultema，Takens(!8))，Broer，Huitema，Sevryuk(!9」)分别作了研究.对具有一个作用变量的保体积或满足相交性的微分同胚类型的KAM理论由程崇庆和孙义隧({15{)，Xia(!69})，从福仲、李勇和黄明游(!20{)分别作了研究. Hamilton系统低维不变环面在小的摄动下的保持性是KAM理论研究的另一重要方向.对低维不变环面的保持性的研究一方面为共振面上的不变环面的保持性的研究提供了一条重要途径，如Treshchev(【6v])，从福仲、K位pp二、李勇和尤建功(!19})，李勇和易英飞(}36});另一方面，对Hamilton系统低维不变环面在小的摄动下的保持性的研究本身也具有一定的意义.1967年，Melllikov提出了一个椭圆型低维不变环面的保持性问题.他指出，在一定的非共振条件(二阶Melnikov条件)下，未摄动系统的大多数椭圆型低维不变环面在小的摄动下可以保持下来，他的完整证明15年后由Eliasson(【24})，Kl;ksin(!35})，p6sellel(!54{)，分别独立给出.在一阶Melnik()v条件下类似的结果由Bollrgain(}n!)，徐君祥和尤建功(!71))给出.Cllier(:hia和Galla二otti(!17))，Eliasson(!25{)，Graff(!29})。Rudnev和Wiggins({56})，Tresel，ev(}671)，Zellnder(!75})分别对双曲型低维不变环面的保持性作了研究. 借鉴于广义Halnilton系统KAM理论和标准Halnilt，on系统低维不变环面的保持性的研究，在本文我们主要研究两种形式的广义Hamilton系统的低维不变环面的保持性. 考虑P()is 5011流形(Gx卿x衅伙、2)，其中G是R‘空间中的一个有界连通闭区域，T”是标准的n维环面，Z，n，矶是正整数.与二形式现对应的结构矩阵I=(且勺):G又T”只RZ，“斗R(‘+”+“7T‘)“(‘+“+2了“)是一个实解析的反对称的矩阵值函数，满足下面二个条件:(i)ra，ikl>0;(11)Jaeobi恒等式:第2页蜂中文摘要之+几+2州艺A*鞠+出。零毕.十丸。势二。，口议]饥J”口叨橄‘公切”讯对任意的，，，=(夕，x，:)任GxT”xRZ”‘，乞，，，无=1，2，…，l+n+2。成立.我们研究的对象要求、“关于环面T“上的拟周期运动是不变的，从而结构矩阵I不依赖于角变量x，即I具有形式I二双幼，y任G;未摄动系统关于y变量是完全可积的，即{y:，黔}二O，乞，J=1，2，…，l;矩阵I关于变量/具有常系数.从而与二形式一、2相对应的结构矩阵I(们具有如下形式 T 夕 l、 BO一了/了，.龟、、其中E(功=O(z+。)大2，;‘，02 显然当了(夕卜(乞{“，了1)，套{:{)，·一(夕，一(军，，·(夕，一氏二‘/，，。1=仇饥x(i+。)，CT=::=l，叮:=0，ERZ“‘一C，J是标准的Zn、只2二阶辛矩阵.J时(G xT“，、“)即为标准的辛流形.但是对p()155()n流形(G xT“x、2)来说，2一形式、2或结构矩阵I当z>n或z十n是奇数时，对所有的y任G显然是一个奇异矩阵.这种奇异性说明了广义Hanult()I1系统与标准Hamilton系统有着本质的区别. 在上述Poisson流形(G火T”又R饰，、“)上，我们首先考察如下形式的广义I任amilton系统H(万，二，升，:一)=h(i/)+<二，州军，x):一)+:P(岁，x，砰，其中。任G，二G xT“x RZ“‘摄动项.任T”，:+，:一任R叭，G仁R‘是一有界连通闭区域，:一)，(1) I。h，A，尸分?

全文目录

第一章绪论  8-16
  1 典型Hamilton系统和广义Hamilton系统  8-12
  2 完全可积系统和近可积系统  12-16
第二章 KAM理论  16-27
  1 经典KAM定理  16-20
  2 低维的KAM定理  20-23
  3 共振情形下的KAM定理  23-25
  4 广义Hamilton系统的KAM定理  25-27
第三章广义Hamilton系统双曲低维不变环面的保持性  27-58
  1 问题和主要结果  27-31
  2 KAM步骤  31-45
    2.1 截断  34-36
    2.2 修改了的线性方程  36-40
    2.3 变换的估计  40-43
    2.4 对新的Hamilton函数的估计  43-45
  3 迭代引理  45-50
  4 主要结果的证明  50-55
  5 例子  55-57
  6 技术引理  57-58
第四章具有小参数的广义Hamilton系统低维不变环面保持性  58-79
  1 主要结果  58-59
  2 KAM步骤  59-69
    2.1 截断  62-64
    2.2 修改了的线性方程  64-66
    2.3 变换的估计  66-68
    2.4 对新的Hamilton函数的估计  68-69
  3 迭代引理  69-71
  4 主要结果的证明  71-77
  5 技术引理  77-79
第五章具有一般形式广义Hamilton系统低维不变环面保持性  79-85
  1 主要结果  79-80
  2 主要结果的证明  80-85
参考文献  85-91
中文摘要  91-97
ABSTRACT  97-104

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