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Stretch-Twist-Fold流的动力学分析与Discretized Cat映射的周期研究

作　者: 鲍江宏
导　师: 杨启贵
学　校: 华南理工大学
专　业: 应用数学
关键词: Stretch-Twist-Fold流周期轨分岔与混沌同宿/异宿轨 Discretized Cat映射
分类号: O175.12
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

Stretch-Twist-Fold(STF)流是一个三维二次方的Stokes流,主要用于研究天体的电磁场,由于磁场在星体之间及内部广泛存在,研究STF流在天体物理上具有重要的意义。本文主要研究了STF流的动力学性质以及Discretized Cat映射的周期问题。首先提出了一种求同宿轨或异宿轨精确解的新方法,不仅获得了一些新的结果,而且也解决了STF流异宿轨的精确解问题。利用所求出的STF流的异宿轨,本文进一步研究了STF流的动力学性质。近年来动力学性质在图像加密方面有着广泛应用,尤其是混沌应用于图像加密具有许多优势,但连续的混沌映射被数字化(discretized)后,通常会使非周期性的连续映射出现周期性。因此,对数字化后的混沌映射的周期研究非常重要。本文深入研究了Discretized Cat映射的周期问题并给出了相应的计算公式。全文共分五章。第一章主要简述了本论文的研究背景、意义及主要工作。第二章介绍了本文研究所需的预备知识,包括广义Hamilton扰动系统周期轨道的存在性定理和KAM理论、Melnikov型向量函数和异宿轨分岔、Shil’nikov定理。为了解析地证明三维连续动力系统存在混沌,Shil’nikov定理要求系统存在异宿环或同宿轨。如何求出异宿环或同宿轨不仅对动力系统本身的研究有重要的价值,而且对深入探讨混沌也具有关键的作用。第三章提出了一种求同宿轨或异宿轨精确解的新方法(简称SLS方法),该方法避免了数值计算同宿轨或异宿轨时要遇到的边值问题求解,那是一个非常耗时且难以精确计算的过程。该方法的主要思想是通过对数变换来变换时间,从而把求连接轨的边值问题转化成初值问题,然后利用级数求得连接轨关于时间的表达式。该方法不仅适用于多项式系统,也适用于非多项式的连续动力系统。特别地,本章应用SLS方法,求出了STF流精确的异宿轨,Nagumo系统精确的异宿轨,以及数学摆表示成时间函数的精确异宿轨。第四章深入研究了STF流的周期轨、不变环面、同宿轨、异宿轨及其分岔、混沌。利用Wiggins和Holmes提出的对慢变振子的全局振动理论,证明了STF流在?足够大时存在周期解。通过利用广义Hamilton系统的KAM理论,进一步获得了STF流在?足够大时存在不变环面的条件。借助于一个新的首次积分,获得了STF流在? ?0时同宿轨和混沌的不存在性。当?较小而?足够大时,STF流在鞍焦点(0,1,0)也无同宿轨。通过获得的连接(0,1,0)和(0,-1,0)的异宿轨,进一步研究了异宿轨的分岔。此外,?为扰动参数时,STF流可化为广义Hamilton的扰动系统,特别在? ?0时,可化为辛叶上的慢变振子,这为进一步研究STF流提供了一定的基础。第五章研究了Discretized Cat映射的周期、最小正周期与控制参数之间的关系,得到了控制参数是素数时的周期公式,以及控制参数为合数时的最小正周期公式。并且提出了一个类似二分查找的算法,利用它获得了Discretized Cat映射在控制参数是素数时的最小正周期。利用本章所推出的结论,在一定条件下,可选择加密图像更优的置换变换,然后进行了相应的图像加密的实验和数值分析。最后总结了全文,并对后续工作做出一些初步的展望。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-11
第一章绪论  11-24
  1.1 研究背景  11-21
  1.2 本文研究的主要内容  21-24
第二章预备知识  24-31
  2.1 广义Hamilton 扰动系统  24-27
    2.1.1 广义Hamilton 扰动系统周期轨道的存在性  24-25
    2.1.2 广义Hamilton 扰动系统的KAM 理论  25-27
  2.2 Melnikov 型向量函数和异宿轨分岔  27-28
  2.3 Shil’nikov 定理  28-31
    2.3.1 同宿轨的Shil’nikov 定理  28-29
    2.3.2 异宿轨的Shil’nikov 定理  29-31
第三章一种求同宿轨和异宿轨的新方法  31-52
  3.1 对数变换级数法  31-33
  3.2 STF 流的异宿轨  33-41
    3.2.1 当α=0 并且β为任意值时  35-40
    3.2.2 当α 和β 是任意时  40-41
  3.3 Nagumo 系统的异宿轨  41-44
  3.4 求当f i 为非多项式形式的系统的异宿轨  44-49
  3.5 讨论  49-50
  3.6 本章小结  50-52
第四章 STF 流动力学性质的研究  52-70
  4.1 奇点  52-53
  4.2 周期轨道的存在性  53-55
  4.3 不变环面的存在性  55-57
  4.4 混沌和同宿轨  57-61
    4.4.1 α=0 时，STF 流不存在混沌  57-58
    4.4.2 α=0 时，STF 流不存在同宿轨  58-61
    4.4.3 当α较小而β足够大时，STF 流不存在同宿轨过(0,1,0)  61
  4.5 异宿轨和异宿轨分岔  61-66
    4.5.1 异宿轨  61-63
    4.5.2 异宿轨分岔  63-66
  4.6 α= 时，STF 流可化为一个广义的Hamilton 系统  66-68
    4.6.1 HS 方法介绍  66-67
    4.6.2 化STF 流为一个广义的Hamilton 系统  67-68
  4.7 本章小结  68-70
第五章 Discretized Cat 映射的周期  70-100
  5.1 Discretized Cat 映射的周期  70-90
    5.1.1 Discretized Cat 映射的周期公式  72-89
    5.1.2 确定Discretized Cat 映射的最小正周期  89-90
  5.2 图像加密方案  90-94
    5.2.1 置乱像素的位置  91-93
    5.2.2 像素值的扩散  93-94
  5.3 安全性分析  94-98
    5.3.1 密钥空间分析  94-95
    5.3.2 统计分析  95-98
  5.4 讨论  98
  5.5 本章小结  98-100
结论  100-102
  1. 研究成果总结  100-101
  2. 研究展望  101-102
参考文献  102-116
攻读博士学位期间取得的研究成果  116-118
致谢  118

Stretch-Twist-Fold流的动力学分析与Discretized Cat映射的周期研究

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