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几类随机延迟微分代数系统的数值分析

作　者: 肖飞雁
导　师: 张诚坚
学　校: 华中科技大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 随机延迟微分代数系统 随机Pantograph方程 Euler-Maruyam方法 θ-Maruyama-方法 Milstein方法 均方相容性 均方收敛性 均方渐近稳定性
分类号: O155
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要


随机延迟微分代数系统（SDDAS）是既考虑了延迟现象又考虑了非确定因素的微分代数系统的扩展．因此，它能更真实的反映和模拟应用中出现的实际问题．由于绝大部分的随机延迟微分代数系统无法显式的求出理论解，从而对其数值方法的研究更加的重要和迫切．稳定性和收敛性是衡量方法优劣的重要指标，故而对数值方法的收敛性和稳定性的研究是数值分析中的重要研究课题．然而，由于这类系统既有延迟项又有随机项，还兼有代数约束条件，对其进行数值分析十分困难，目前较少有相关文献论及此类问题．鉴于此，本文就SDDAS的数值算法做了一些尝试性的工作．由于较少关于SDDAS的解析解的理论研究结果，在第二章，我们对SDDAS解的存在性进行了讨论，在一定条件下证明了SDDAS初值问题存在唯一解．根据后续研究的需要，本章还给出了关于SDDAS解的一个均方矩估计定理．在第三章，我们主要研究了一类随机常延迟微分代数系统初值问题．将Euler-Maruyama方法应用于此类问题，方法为1／2阶相容，并且1／2阶收敛的．在第四章，我们将关于常延迟问题的研究推广到了随机变延迟微分代数系统（SVDDAS），并证明了扩展后的θ-方法是1／2阶相容且1／2阶收敛的．当代数约束条件消失后，随机延迟微分代数方程（SDDAEs）退化为随机延迟微分方程（SDDEs）．本文的第五，六章主要针对一类带无界延迟的非线性随机微分方程做了若干数值分析．在第五章，我们首先考察了该类方程解析解的均方渐近稳定性，其次，我们将θ-方法改造后用于求解非线性随机Pantograph方程并证明所得数值解是均方渐近稳定的．在第六章里，我们进一步讨论了求解非线性随机Pantograph方程的Milstein方法的均方渐近稳定性，证明用Milstein方法求解此类问题．当步长满足一定条件时，其数值解均方渐近稳定．当扩散项g≡0时，随机延迟微分代数系统退化为确定性延迟微分代数系统．在第七、八章，本文就变延迟微分代数系统（VDDAS）的数值算法展开了研究．第七章将常微分方程的B-收敛和延迟微分方程的D-收敛的概念推广到了变时滞微分代数系统问题类Kα，β，γ（A），给出了DA-收敛的定义，讨论了该问题类的DA-收敛性，证明如果G-稳定的单支方法（ρ，σ）对于常微分方程初值问题在经典意义下是p阶相容的且βκ／ακ＞0，那么具有线性插值过程的该方法是p阶DA-收敛的，这里p=1或2．第八章将求解常微分方程的Runge-Kutta方法改造后用于求解变延迟微分代数系统，并且证明如果代数稳定且对角稳定的Runge-Kutta方法（A，b，c）对于常微分方程初值问题在经典意义下是p阶相容的，那么具有Lagrange插值过程的该方法是M阶DA-收敛的，M=min{p，u+q+1}，u+q为Lagrange插值多项式的次数．

全文目录


摘要  4-6
Abstract  6-10
1 绪论  10-20
  1.1 应用背景  10
  1.2 延迟微分方程的主要数值研究成果  10-12
  1.3 随机微分方程的主要数值研究成果  12-15
  1.4 微分代数系统的主要数值研究成果  15-18
  1.5 本文的主要工作  18-20
2 SDDAS解的存在唯一性及矩估计  20-30
  2.1 引言  20
  2.2 1指标SDDAS  20-23
  2.3 解的存在唯一性  23-28
  2.4 解的矩估计  28-30
3 SDDAS的Euler-Maruyama方法的收敛性  30-42
  3.1 引言  30
  3.2 Euler-Maruyama方法  30-33
  3.3 收敛性  33-38
  3.4 数值试验  38-42
4 θ-方法关于SVDDAS的收敛性  42-61
  4.1 引言  42-43
  4.2 θ-Maruyama方法  43-44
  4.3 收敛性  44-54
  4.4 数值试验  54-61
5 非线性随机Pantograph方程及其θ-方法的均方渐近稳定性  61-69
  5.1 引言  61-62
  5.2 稳态解分析  62-64
  5.3 θ-方法的均方渐近稳定性  64-69
6 非线性随机Pantograph方程Milstein方法的均方渐近稳定性  69-78
  6.1 引言  69
  6.2 Milstein方法  69-71
  6.3 均方渐近稳定性分析  71-76
  6.4 数值试验  76-78
7 一类变延迟微分代数系统单支方法的收敛性  78-89
  7.1 引言  78
  7.2 模型问题类K_(α,β,γ)~(A)  78-80
  7.3 单支方法的D_A-收敛性  80-87
  7.4 数值试验  87-89
8 一类变延迟微分代数系统Runge-Kutta方法的收敛性  89-102
  8.1 引言  89
  8.2 一类刚性DDAS  89-91
  8.3 扩展的Runge-Kutta方法  91-92
  8.4 D_A-收敛  92-100
  8.5 数值试验  100-102
致谢  102-103
参考文献  103-114
附录 攻读学位期间已发表和录用的论文目录  114

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 微分代数、差分代数
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