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均匀度理论及其应用研究

作　者: 聂峻
导　师: 张萍
学　校: 成都理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 均匀度 ICM 信息熵实代步数空代步数
分类号: O211.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

对点集均匀性的研究,传统方法主要有:拥挤指数、聚块指数、分散指数、信息熵和方差/均值等。但前述方法除信息熵之外,其本质都是利用方差来描述数据分布的均匀度,一般认为,数据或样本点的方差越小,离散程度就越小,则说明均匀度也越小。但是,通过一些具体问题的研究,存在这样一种情况:方差越小,均匀度反而很大（对于分布非常均匀的数据,均匀度很大,但其方差很小）。信息熵虽然能够准确度量均匀,然而其计算量太大,在划分空间时,也存在尺度选择问题。相对于上述方法,均匀度不但能克服方差对均匀点集无法刻画的缺陷,且其计算完全依赖于轨道,和系统无关,计算量较小。论文以均匀度理论的核心瞬时混沌强度（ICM）及K步瞬时混沌强度为研究工具,对规则轨道、准周期轨道、周期轨道及随机轨道的ICM序列进行研究;尝试用均匀度来度量信息,经数值模拟,和信息熵的同步性较好;此外还给出了ICM列两个参数的确定准则,用均匀度来解析证券市场的历次动荡和建立了基于均匀度的证券市场多目标决策模型。论文获得的主要成果如下:（1）轨道ICM列特性1若轨道X = { x₁ , x₂ ,..., x_N}来自于随机系统F,则对任意空代步数K2,ICM都是随机序列。2对周期轨道X = { x₁ , x₂ ,..., x_N},当实代步数K1满足K₁ < T时且轨道足够长时,其中T是轨道周期,任给空代步数K2,有:ICM是周期轨道,且其周期T₀ < T。3对准周期轨道X = { x₁ , x₂ ,..., x_N},ICM列是准周期数列。4猜测:对于除上述运动之外的规则运动及混沌运动,当空代步数K2足够大时,ICM序列是随机序列。5对于随机ICM序列,其是否独立同分布和空代步数K2有关,只有当K2大于某个常数K0时,才表现出独立同分布。6随机ICM序列的分布函数为正态分布,且分布函数曲线随轨道随机性增强而越来越胖。（2） ICM与信息熵的同步性1通过信息熵度量信息及ICM解析均匀的本质的研究,发现二者有很大的相似性,再由kent映射及Lorenz吸引子的数值模拟,证明了ICM对信息熵的同步性很好。2建立了基于均匀度的多目标决策模型:表示第i种证券的交易费率,为第i种证券的投资收益率,为n种证券投资组合的期望收益率为。（3）参数确定的两个准则1对于空代步数K2的选取,同时间延迟的选取一样,有很多种方法,比如自相关函数法,平均位移法及平均互信息函数法等,具体确定的时候,可以基于下面两个准则:一是相空间扩展,使得相空间轨迹从相空间的主对角线尽可能的扩展,但又不出现重叠;二是降低每个片段内元素的相关性,同时保持每个片段都包含了原动力系统的信息;2对于实代步数K1,我们定义: E （ k ） =ΔS CM = （ k +Δk ）SCM ? kSCM,称之为kSCM的变化率。定义: E *（ k ） = E （ k ）/Δk ,称之为kSCM的平均变化率,即k步瞬时混沌强度的平均变化率,取E *（ k ）趋于恒定时的k为实代步数。大量实测数据的模拟表明,该准则稳定性较好。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-11
第一章绪论  11-18
  1.1 研究背景  11
  1.2 问题的提出  11-12
  1.3 均匀度理论简介  12-15
    1.3.1 基本定义  12-15
    1.3.2 均匀度与混沌强度的关系  15
  1.4 主要研究内容  15-16
  1.5 获得的主要成果  16-18
    1.5.1 轨道ICM 列特性  16
    1.5.2 ICM 与信息熵的同步性  16
    1.5.3 参数确定的两个准则  16-18
第二章轨道ICM 序列特征  18-27
  2.1 关于轨道ICM 序列的结论  18-21
  2.2 ICM 序列的独立性检验  21-24
  2.3 ICM 序列分布函数的估计  24-27
第三章均匀度理论参数确定的一个准则  27-42
  3.1 kSCM 及ICM 计算复杂性分析  27-30
  3.2 空代步数及实代步数的确定原则  30-33
    3.2.1 空代步数K2  30-31
    3.2.2 实代步数K1  31-33
  3.3 数值模拟  33-40
    3.3.1 上证市场空代步数及实代步数  33-35
    3.3.2 窦性心率空代步数及实代步数  35-38
    3.3.3 地震波空代步数及实代步数  38-40
  3.4 本章小结  40-42
第四章均匀度理论在解析系统混乱性中的运用  42-49
  4.1 熵及均匀度  42-46
    4.1.1 熵的统计物理意义  42
    4.1.2 熵与信息  42-43
    4.1.3 熵与均匀度  43-46
  4.2 数值模拟  46-48
    4.2.1 Lorenz 系统  46-47
    4.2.2 Kent 映射  47-48
  4.3 本章小结  48-49
第五章 kSCM 解析信息及其在风险度量中的应用  49-53
  5.1 混沌强度度量风险  49-51
    5.1.1 风险的本质  49
    5.1.2 风险函数的定义  49-50
    5.1.3 风险函数S 的数学性质  50-51
  5.2 具有交易费用的投资风险度量模型  51-52
  5.3 本章小结  52-53
结论  53-54
致谢  54-55
参考文献  55-57
个人在学习期间发表的学术论文  57

均匀度理论及其应用研究

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