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广义J-M分形图的计算机生成及其性质研究

作　者: 任波
导　师: 秦宣云
学　校: 中南大学
专　业: 应用数学
关键词: 分形广义J-M分形图逃逸时间算法迭代函数控制变量
分类号: O189
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
下　载: 132次
引　用: 1次
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内容摘要

Julia集和Mandelbrot集（简称J-M集）是迭代分形集的典型代表，它们是以f_c（z）=z²+c为迭代函数的，而广义J-M集则是J-M集以f_ω，c_Z=z^ω+c为迭代函数时的一种推广。本文的研究对象就是根据广义J-M集的定义由迭代所生成的分形图，即：广义J-M分形图。本文采用实验数学的研究方法，对广义J-M分形图的性质进行了研究。首先，利用复变函数的知识，对广义J-M分形图的生成算法（逃逸时间算法）进行了分析，并得出其生成算法的基本步骤。然后，在详细研究了迭代函数性质的基础上，确定了ω∈R，ω＞1时生成算法中一些控制变量(如：R_max和B)的值，从而优化了该算法。最后，文章根据所得出的生成算法基本步骤，通过Visual C++编程实现了广义J-M分形图的计算机生成，同时生成了大量的实验图形。根据这些实验图形总结得出广义J-M分形图所具有的一些性质，并从理论方面给出了证明。由于广义J-M分形图是由迭代函数f_ω，c（z）=z^ω+c所构造的，因此，研究其性质就主要从迭代函数对它的影响方面来考虑。为此，本文先后讨论了广义J分形图与参数ω，c以及广义M分形图与参数ω之间的关系；其中，广义J分形图与参数c之间的关系是分形领域中涉及较少的一个课题，而本文则在大量实验的基础上，对其作了尝试性的研究，并取得了一定的进展。

全文目录

摘要  3-4
ABSTRACT  4-7
第一章绪论  7-16
  1.1 分形理论的产生与发展  7-9
  1.2 分形理论对现代科学的作用和影响  9-11
  1.3 分形研究的现状与展望  11-13
    1.3.1 关于数学分形的研究  11-12
    1.3.2 分形应用的若干研究领域  12-13
    1.3.3 分形几何研究面临的重大突破  13
  1.4 本文研究的主要内容及现实意义  13-14
  1.5 本章小结  14-16
第二章分形理论的数学基础  16-23
  2.1 分形的定义  16-17
  2.2 分形空间  17-18
  2.3 分形维数  18-20
  2.4 动力系统简介  20-21
  2.5 J-M集的定义  21-22
  2.6 本章小结  22-23
第三章逃逸时间算法生成广义J-M分形图的算法分析及编程实现  23-37
  3.1 广义J-M集的定义  24
  3.2 逃逸时间算法(The Escape Time Algorithm)  24-27
    3.2.1 逃逸时间算法的定义  24-25
    3.2.2 逃逸时间算法生成广义J-M分形图的基本步骤  25-27
  3.3 当ω∈R，ω>1时，算法中一些控制变量的确定  27-30
    3.3.1 广义J分形图生成算法中控制变量R_(max)和B的确定  27-29
    3.3.2 广义M分形图生成算法中控制变量B的确定  29-30
  3.4 逃逸时间算法生成广义J-M分形图的编程实现  30-36
    3.4.1 逃逸时间算法生成广义J分形图的编程实现  31-34
    3.4.2 逃逸时间算法生成广义M分形图的编程实现  34-36
  3.5 本章小结  36-37
第四章广义J-M分形图的性质研究  37-61
  4.1 广义J分形图对参数ω的依赖性  37-47
    4.1.1 ω取整数  37-42
    4.1.2 ω取实数  42-43
    4.1.3 ω取复数  43-47
  4.2 广义J分形图对参数c的依赖性  47-53
  4.3 广义M分形图对参数ω的依赖性  53-60
    4.3.1 ω取整数  53-56
    4.3.2 ω取复数  56-60
  4.4 本章小结  60-61
第五章总结与展望  61-63
  5.1 总结  61-62
  5.2 展望  62-63
参考文献  63-67
致谢  67-68
攻读学位期间主要的研究成果  68

广义J-M分形图的计算机生成及其性质研究

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