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三个二次曲面的光滑拼接及一类四次隐式代数曲面的参数化

作　者: 解滨
导　师: 张树功
学　校: 吉林大学
专　业: 计算数学
关键词: 拼接曲面光滑拼接二次曲面参数化方法有效部分三次曲线平面束二次多项式隐式曲面拼接
分类号: O182
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
下　载: 98次
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内容摘要

曲面拼接问题是CAGD理论研究的一个核心内容，它为空间曲面造型技术提供了理论保证。本文研究了三个管道曲面的光滑拼接问题和一类四次隐式代数曲面的参数化。在第二章我们研究了三个管道曲面的光滑拼接问题，分两种情况构造了三个管道曲面的GC¹拼接曲面，给出了便于直接应用的拼接曲面的表达式。这两种情况为：控制曲面存在（即从GC⁰构造GC¹拼接曲面）和直接构造GC¹拼接曲面。一方面，对于常见的六种可封闭成管道的二次曲面（圆柱面、球面、圆锥面、单叶双曲面、双叶双曲面和圆抛物面）我们给出了分别以：x，y，z坐标轴为中心轴的管道曲面的一般性描述（分为两种类型，其中圆抛物面自成一类，其他五种可表示为统一形式），针对于三个管道曲面拼接可能产生的共四种情况（三个曲面都属于类型一；两个曲面属于类型一，另一个曲面属于类型二；两个曲面属于类型二，另一个曲面属于类型一；三个曲面都属于类型二），我们借助于控制曲面S（g），计算得到了GC¹拼接曲面S（f）的表达式f-ug+vh₁h₂h₃，其中h_i（i=1，2，3）为截平面，u和v分别是关于h_i（i=1，2，3）的二次多项式和一次多项式。并且计算结果表明，满足上述四种情况的二次多项式u均为齐次形式。另一方面，我们通过求解关于系数的高阶线性方程组直接构造出GC¹拼接曲面S（f），并且对于控制拼接曲面S（f）的形状的自由参数进行了初步的讨论。由于隐式代数曲面的显示问题始终是困扰人们的一个关键性难题，从而针对具体形式的代数曲面，能给出方便有效的参数化方法无疑是有意义的.鉴于此，本文的第三章针对一类GC‘拼接三个二次代数曲面所形成的混合代数曲面进行了参数化研究，提出了相应的参数化方法，并给出了实现的具体算法。我们注意到，在以往对两管拼接曲面的参数化过程中，通过用特定平面束去截三次混合拼接曲面可得到一条含于拼接曲面的二次曲线和一条直线，并进而得到三次混合拼接曲面的参数化表达.将这一思想应用于三管拼接曲面的参数化是自然的，但是由于3向管道曲面的拼接曲面是不唯一的，并且由于参数选取不当可能出现三个管道曲面分别拼接于混合拼接曲面的不同分支等奇异情况，从而这一思想的实现具有现实难度。在充分研究3向管道曲面的拼接曲面的基础上，我们基于伍铁如冈给出的引入控制球的拼接曲面表达形式、不分块直接对混合拼接曲面进行参数化。我们直接用特定平面束去截四次混合拼接曲面，每次得到一条含于拼接曲面的平面三次曲线和一条直线，有趣的是，基于引入控制球的拼接曲面表达形式，我们可以直接将这条直线约去，而不必要经过坐标旋转变换来实现这一过程（在以往两管拼接曲面的参数化实现中，这一过程都要经过坐标旋转变换来实现）. 对于四次拼接曲面S（f），我们感兴趣的是其联结三个管道曲面s（g:）（:=1，2，3）并且可与s（h:）（;二1，2，3）形成连通的封闭混合曲面的部分，我们称之为拼接曲面的“有效部分”.我们重点讨论拼接曲面s（j）的“有效部分”的参数化问题. 我们参数化算法的基本思想是:用过任意两平面的交线S（h，nh、）(J，k=1，2，3;j<哟的平面束去截拼接曲面S（f），不失一般性，我们取直线 S（h1nhZ），用过直线S（hl nhZ）的平面束S（h（0））从平面S（122）“扫”到平面S（hl）.每一个这样的平面与s（f）相截，除了截出直线s（h1自hZ）外，还将截出一条平面三次曲线（或一条平面二次曲线和一条直线）.并且，在0的变化过程中，截线可分为封闭和不封闭两种情况: 定理1用平面s(h（的）与拼接曲面的有效部分相交，则当0〔（o，alu田，二/2）时，平面s（h（印）与拼接曲面的有效部分相交所得截线是封闭的，当0任（a，用时，截线是不封闭的.其中a=afCtalld ld:一p了心+嵘一尸d了一户2尽=aretafld 1 dZ+户了d了+d姜一户2T3， /，2_f刀_<sub>，、2V’3、场3一‘U）}叮3（d3一20）}，了2{尹3（d3一z。）}，l置+、爹（d3一:。）2，一咭十心（妈一句）2，d子一户2（e夕lznde:）（s尸here）（e乞reolar eone）（e乞:e二lar尸a:abolo;d）（h夕尹erbolozd of one sheet）（h夕尸。rbolozd oft、0 sh。。ts）了........J、.... 一一 P 接下来，我们的任务就是将平面S（h（0））与拼接曲面的有效部分相交所得截线参数化。在以往两管拼截曲面的参数化过程中，对于二次平面截线的参数化是通过从一点出发的等角度辐射线束与曲线求交来实现的.但是这种方法并不适用于平面三次曲线，在有效点的选取、排序等方面均不方便.我们采用平行线截取法，通过对交点取值范围的合理限制，可以方便的求得有效点并对之排序联接. 在对这样的三次曲线（或二次曲线）进行参数化的基础上，我们就可以通过依次对每一条“扫”出曲线的参数化来实现对于拼接曲面创f）的参数化。本文还给出了不同情况下三个管道曲面的拼接曲面的参数化图例。

全文目录

第一章绪论  5-12
  1.1 基本概念  6-8
  1.2 二次曲面的GC~0和GC~1拼接  8-11
  1.3 本文主要研究内容  11-12
第二章三个二次曲面的光滑拼接  12-26
  2.1 从GC~0构造GC~1拼接曲面  12-21
  2.2 直接构造GC~1拼接曲面  21-26
第三章一类四次隐式代数曲面的参数化  26-48
  3.1 三个管道曲面的拼接曲面  27-31
  3.2 参数化的基本思想  31-33
  3.3 参数化的具体实现  33-38
  3.4 应用举例  38-48
参考文献  48-49
致谢  49-50
中文摘要  50-53
英文摘要  53-55

三个二次曲面的光滑拼接及一类四次隐式代数曲面的参数化

内容摘要

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