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LMOV猜想和表示理论

作　者: 戴星宇
导　师: 李方
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 李代数 LMOV 表示论微分拓扑量子包络代数不定方程组等价条件张量积子表示存在性问题非负整数群不变量底空间代数拓扑量子群对称表示表示理论量子不变量定理度量和
分类号: O152.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 23次
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内容摘要

这篇论文分为两个主要部分。首先,我们发现并解决一个表示论的问题,它是一个代数拓扑和微分拓扑中自然产生的问题。源于老师和我在课间的一段讨论。首先我们在纤维丛的纤维上有一个好的度量,它对应着Guage群的一个基本对称表示。由代数拓扑上的知识,我们得到一个Guage从上的度量,既是纤维上的基本度量和底空间上的度量(任意的选择),问题是当从的维数足够大时,我们是否能得到从上有一个基本对称的子表示么?如果答案是肯定的,几何上的问题就变得十分简单,然而,通过一系列的观察,我们发现问题需要比较严格的条件。首先,将其转化到李代数表示理论上,我们得到这个问题的李代数解释：问题：讨论李代数为sln(C)下的表示：设V是sln(C)上的基本表示,W是其他任意的一个关于sln(C)的一个表示,我们的问题是：什么时候存在李代数sl2C上的一个子表示P使得以下表示关系成立：symnV(?)W(?)symnV(?)P在这个问题的解答中,我们将运用Littleword关系：Littleword(Joe.Harris[JH]P225)：将表示ra1,…,an-1,和symkV=Гk,0,…,0作张量积。然后将我们得到的新表示进行不可约表示的直和分解,表示如下：Гa1,…,an-1(?)Гk,0,…,0=(?)Гb1,…,bn-1其中分解中出现的不可分解子表示Гb1,…,bn-1需要满足如下的数量关系：存在n个非负整数C1,…,Cn满足如下方程关系：|b1=a1+c1-c2 |b2=a2+c2-c3 |bi=ai+ci-ci+1 (2) |bn-1=an-1+cn-1-cn |∑in=1ci=k将表示存在性问题转化到一个不定方程组解的存在性问题上进行解答。与此同时,我们用另一种方式解读在二维情况下的,问题1的等价条件,两种解答吻合的很好。其次,作为本文的第二部分。我将LMOV猜想相关的研究和学习做了一个综述,它是数学物理中著名的猜想,在一般的情况下仍然悬而未决。幸运的是,这个猜想在模群的条件下已经被浙江大学的刘克峰教授和他的学生们证明了。于是在此文中,我们将从我的学习经历出发,从最基础的量子群不变量开始综述,一步一步介绍LMOV猜想。我们将考虑在更一般的条件下,转化其中的一些定理和结果。比如so(2n+1)和sp(2n)的情况。在低维情况下,利用几种基本的李代数的同构关系,我们能够将一些模群上的结果转化到另外两种群上。我们得到了两种扭结不变量多项式的基本关系。

全文目录

目录  3-4
Abstract  4-6
摘要  6-8
第一章内容简介  8-11
第二章第一部分:关于A形基本的子表示的存在性  11-25
  2.1 第一部分预备知识  11-15
  2.2 第一部分的问题和特殊情形下的解答  15-18
  2.3 第一部分的问题一般情况下的解答  18-25
第三章第二部分:LMOV猜想的综述和推广  25-39
  3.1 预备知识  25-36
    3.1.1 Ribbon范畴和量子群不变量  25-30
    3.1.2 李代数sl_n(C)下的量子群不变量和LMOV猜想  30-36
  3.2 关于李代数sp_(2N)(C)和so_(2N)(C)的一些结果  36-39
参考文献  39-41
致谢  41

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